\section{Module et argument d'un nombre complexe}
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%------------------------sous-section
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\subsection{Définition géométrique}
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\begin{definition}
    \begin{minipage}{9cm}
        Soit $z$ un complexe. $M$ (ou $\vect{w}$) un point (ou un vecteur) 
        
        d'affixe $z$.
        \begin{itemize}
            \item On appelle \MotDefinition{module}{} de $z$ la distance $OM$ (ou la norme $||\vect{w}||$). Le module de $z$ est noté $|z|.$
            \item Si $z\neq 0$, on appelle \MotDefinition{argument}{}
              de $z$ \underline{une} mesure en radians de l'angle
              $\ang{u}{OM}$ ( ou $\ang{u}{w}$). 

              Un argument de $z$ est noté $\arg (z).$
            \item Le complexe nul  n'a pas d'argument et a pour module 0.
        \end{itemize}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{6cm}
        \input{\pathtexgraphfig/module-arg-cours.tkz}
%        \begin{texgraph}[file,call,export=tkz,name={\pathtexgraphfig/module-arg-cours}]
%            Cmd
%                Fenetre(-1.5+2*i, 2.2-1*i, 1.1*(1+i));
%            
%            Var
%                N = 2.1+1.5*i;
%                N' = Re(N)-i*Im(N);
%            
%            Cmd [xylabelpos:=0];
%            Graph objet1 = Axes(0,1+i,2+2*i);
%            Cmd [tMin:=-5,tMax:=5,DotScale:=1+i,LabelSize:=0];
%            Graph LabN = LabelDot(N,"$M(z)$","N",1);
%            Cmd [tMin:=-1.5,tMax:=3,LabelStyle:=8,LabelAngle:=Arg(N)/pi*180];
%            Graph objet6 = [LineStyle:=dashed,
%                Seg(0,N),
%                Label(N/2,"$|z|=OM$")
%                ];
%            Cmd [LabelStyle:=0,LabelAngle:=Arg(N)/pi*90,Arrows:=1];
%            Graph Arc7 = [
%                r:=.8,
%                Arc(1,0,N,r,1),
%                Label(r*1.5*exp(i*Arg(N)/2),"$\arg(z)$")];
%            Cmd [Width:=8,Color:=255,Arrows:=1,LabelStyle:=1,LabelSize:=0,LabelAngle:=0];
%            Graph repere = [Label(-.2-.2*i,"$O$"),
%                 Seg(0,i),
%                 Seg(0,1),
%                 Label(1-.2*i,"$U$"),
%                 Label(i-.2,"$V$")
%                 ];
%        \end{texgraph}
    \end{minipage}
\end{definition}
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\begin{remarque}

    $\arg(z)$ peut prendre une infinité de valeurs différentes : si $\theta$ est une mesure de $\arg(z)$ alors $\theta +k 2 \pi$  est une autre mesure de $\arg(z)$ pour  $k\in \Z$. On notera : $\arg(z)=\theta\ [2\pi]$ et on dit que l'argument de $z$ vaut $\theta$ \og modulo $2\pi$\fg\ ou \og à $2\pi$ près \fg.
\end{remarque}
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\begin{exemples*1}
    \begin{itemize}
        \item $|\ci|=OV=1$ et $\arg (\ci )=\ang{u}{OV}=\dfrac{\pi}{2}$. 
        \item Soit $M_1$ d'affixe $-4$ on a ; $|-4|=OM_1=4$ et  $\arg(-4)=\ang{u}{OM_1}=\pi$. 
        \item Soit $M_2$ d'affixe $1+i$ on a : 
            
            $|1+\ci|=OM_2=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ d'après la formule des distances
            
            $\arg(1+\ci)=\ang{u}{OM_2}=\dfrac{\pi}{4}$ la diagonale du carré $OUM_2V$ étant la bissectrice de $\ang{u}{v}$.
        \end{itemize}
\end{exemples*1}

