\begin{exercice*}[\ExerciceRefMethode{methode-proprietes-module-argument}]
        \label{exo-proprietes-module-argument}
        On considère les nombres complexes
        \begin{equation*}
            z=\frac{\sqrt{6}-\ci\sqrt{2}}{2} \ \ \ \textnormal{et} \ \ \ \ z'=1-\ci
        \end{equation*}
        \begin{enumerate}
            \item Déterminer le module et un argument de $z$, $z'$ et $\frac{z}{z'}$.
            \item Déterminer la forme algébrique de $\frac{z}{z'}$.
            \item En déduire que
            \begin{equation*}
                \cos\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}
            \end{equation*}
            et
            \begin{equation*}
                \sin\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.
            \end{equation*}
        \end{enumerate}
    \end{exercice*}
    \begin{corrige}
              \begin{enumerate}
            \item On a $|z|= \frac{|\sqrt{6}-\ci\sqrt{2}|}{2}=\frac{\sqrt{8}}{2}=\sqrt{2}$. On en déduit que $z=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}-\ci\frac{1}{2}\right)=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\ci\right).$ Ce qui donne l'écriture trigonométrique de $z$. On en déduit $|z|=\sqrt{2}$ et $\arg(z)=-\frac{\pi}{6}.$
            
            De même $|z'|=\sqrt{2}$ et $\arg(z')=-\frac{\pi}{4}.$
            
            Par les règles sur les modules et les arguments : $\left|\frac{z}{z'}\right|=1$ et $\arg\left(\frac{z}{z'}\right)=\frac{\pi}{12}.$
            \item $\left(\frac{z}{z'}\right)=\frac{\sqrt{6}-\ci \sqrt{2}}{2(1-i)}=\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})+\ci(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}.$
            \item On a donc 
            $ \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})+\ci(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}= \cos\left(\frac{\pi}{12}\right)+\ci \sin\left(\frac{\pi}{12}\right)$. Cela donne le résulat demandé par égalité des parties réelles et imaginaires.
        \end{enumerate}
    \end{corrige}
