    \begin{exercice}
      On se propose dans cet exercice de calculer des valeurs exactes
      de
      $\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)$.% et $\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)$
        \begin{enumerate}
            \item Démontrer que pour tout nombre complexe $z\neq 1$ :
            $$ 1+z+z^2+z^3+z^4= \frac{1-z^5}{1-z}.$$
            \item En utilisant la valeur $z_0=\ce^{\ci \frac{2\pi}{5}}$ dans la formule précédente, démontrer que :
            $$ \left(z_0^2+ \frac{1}{z_0^2}\right) + \left(z_0 + \frac{1}{z_0}\right) +1=0.$$
            \item  Démontrer que : $$ \left(z_0^2+ \frac{1}{z_0^2}\right) = \left(z_0 + \frac{1}{z_0}\right)^2-2.$$
            et que :
            $\left(z_0 + \frac{1}{z_0}\right)= 2\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right).$
            \item En déduire que $\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)$ est solution d'une équation du second degré que l'on précisera, puis calculer la valeur exacte cherchée.
            %            \item
            %                %$$1+\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right) +\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right) +\cos\left(\frac{6\pi}{5}\right) + \cos\left(\frac{8\pi}{5}\right) $$
            %            \item En développant :
            %                $$ \left(\ce^{\ci \dfrac{\pi}{5}} +  \ce^{-\ci \dfrac{\pi}{5}}\right)^2$$
            %            %\item En utilisant la formule $\cos(2x)=2\cos^2(x)-1$,
            %            démontrer que :
            %                $$\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right) + \cos\left(\frac{8\pi}{5}\right)=4 \cos^2\left( \frac{\pi}{5}\right)-2.$$
            %            \item En utilisant les angles associés $\pi -x$ et $\pi+x$ démontrer que :
            %                $$\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right) + \cos\left(\frac{8\pi}{5}\right)= -2 \cos\left(\frac{\pi}{5}\right). $$
            %\item En déduire que $X=\cos\left(\dfrac{\pi}{5}\right)$ est solutions de l'équation $4X^2-2X-1=0$ et en déduire la valeur exacte de $\cos\left(\dfrac{\pi}{5}\right).$
        \end{enumerate}
    \end{exercice}
 
