    \begin{exercice}[Une fonction complexe]
        
        On définit une fonction $f$ de $\C-\left\lbrace\ci\right\rbrace$ dans $\C$ par :
        $$f(z)= \dfrac{z-1}{z-i}$$
        
        \begin{enumerate}
            \item Démontrer que $1$ n'a aucun antécédent par $f$.
            \item On pose $z=x+\ci y$. Vérifier qu'on a alors :
            $$f(z)=\dfrac{(x^2+y^2-x-y)+\ci (x+y-1)}{x^2+(y-1)^2}.$$
            \item Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe
            
            $z=x+\ci y$ du plan tels que $f(z)$ est un nombre réel.
            \item Même question pour avoir $f(z)$ imaginaire pur.
            \item Déterminer les points $M$ d'affixe $z$ tel que $|f(z)|=1.$
        \end{enumerate}
        
    \end{exercice}

