\begin{activite}[Une vieille histoire... l'équation de Bombelli]%[\tice\calculatrice]\label{activite3A1}

  À l'époque de la Renaissance, les mathématiciens Girolamo Cardano
  (1501-1576), Scipione Del Ferro (1465-1526) et Niccol\`o Fontana
  (1499-1557) trouvèrent une méthode pour résoudre les équations de
  degré trois du type $x^3+px+q=0$. Le principe général était acquis
  mais butait sur des cas comme l'équation de Bombelli (1526-1572) :
  $x^3-15x-4=0$. Or pour cette dernière, Raffaello Bombelli savait
  qu'il y avait trois solutions dont une évidente !


    \begin{enumerate}
        \item\textbf{Point de départ de la méthode dite de Cardan}
        \begin{enumerate}
            \item On pose $x=u+v$. Et on cherche les valeurs de $x$ telles que $x^3-15x-4=0$. En utilisant que $(u+v)^3=u^3+3u^2v+3vu^2+v^3$, démontrer que $u$ et $v$ doivent satisfaire l'équation :
            $$ (u^3+v^3) +3uv(u+v) -15(u+v) -4=0.$$
            \item En déduire que $u$ et $v$ sont solutions de l'équation :
            $$ (u^3+v^3)-4 +(3uv-15)(u+v)=0.$$
          \item Expliquer pourquoi on aura trouvé une solution dès que
            l'on obtient $u$ et $v$ solutions du système :
            $$
            \left\lbrace
            \begin{array}{rcl}
                u^3+v^3&=&4\\
                u\times v& =&15
            \end{array}\right.
            $$
            \item Démontrer alors que les nombres $u^3$ et $v^3$ sont solutions de l'équation : $X^2-4X+125=0.$ Puis expliquer pourquoi on ne pourra pas ainsi déterminer $u$ et $v$ (et par conséquent la solution connue).
        \end{enumerate}
        \item \textbf{Le tour de passe-passe de Bombelli}.
        %
        \begin{enumerate}
            \item Néanmoins des solutions existaient et Bombelli pensait que la méthode devait les donner. Il décida alors de terminer le calcul en utilisant un nombre \og imaginaire\fg\ que nous noterons $\sqrt{-1}$. \`A l'aide de cette notation, expliquer pourquoi l'équation $X^2-4X+125=0$ a alors deux solutions : $2-11\sqrt{-1}$ et $2+11\sqrt{-1}$.
            \item Vérifier alors que : $(2+\sqrt{-1})^3=2-11\sqrt{-1}$ et que $(2-\sqrt{-1})^3=2+11\sqrt{-1}.$
            \item En déduire que la méthode permet bien de retrouver une solution attendue pour l'équation de Bombelli.
            \item \`A l'aide d'un logiciel de calcul formel comme Xcas effectuer une résolution de l'équation et comparer aux résultats obtenus.
        \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{activite}

