\begin{TP}[Les ensembles de Julia][\algo]
    %\ref{inegalite-triangulaire-inverse}
    Les ensembles de Julia ont été mis en évidence par le mathématicien qui leur a donné son nom : Gaston Julia (1893-1978). Ces ensembles sont construits à partir d'un problème concernant les suites de nombres complexes du type $z_{n+1}=z_n^2+c$, où $c$ un un nombre complexe fixé. Dans la suite on prendra $c=-1$.
    
    Ces suites peuvent soit rester bornées, soit diverger selon la valeur de départ $z_0$. Les ensembles de Julia \og remplis\fg\ étant constitués des $z_0$ pour lesquels la suite des  modules des $z_n$ reste bornée. %Nous allons plus précisément nous intéresser à l'exemple $c=0{,}3+0,5\ci$
    %
    \begin{enumerate}
        \item  On note $x_n$ et $y_n$ les parties réelles et imaginaires de $z_n$. Exprimer $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ en fonction de $x_n$ et $y_n$.
        \item  On définit une suite de nombres réels $(u_n)_n$ en posant $u_n=|z_n|$
        \begin{enumerate}
            \item \`A l'aide de l'inégalité triangulaire (voir exercice \ref{inegalite-triangulaire-inverse}), démontrer que pour tout $n\in \N$ on a :
            %$$u_{n+1}\geq u_n^2 - |c|.$$
            $$u_{n+1}\geq u_n^2 - 1.$$
            \item Démontrer alors par récurrence que s'il existe un rang $n_0é$ tel que $u_{n_0}\geq 2$ alors  : $u_n\geqslant 2$ pour tout $n\geqslant n_0$.
                
                En déduire alors que pour tout entier naturel $n\geq n_0$ :
            %$$u_n\geq 2^{n-n_0}(u_{n_o}- |c|) + |c|$$
            %$$u_n\geq 2^{n-n_0}(u_{n_o}- 1) + 1$$
            $$u_n\geq 2^{n-n_0}+ 1.$$
            \item En déduire $\lim_{n\to+\infty} |z_n|$ dans ce cas.
        \end{enumerate}
        %et on admet la propriété suivante qui sera démontrée à l'exercice .... : si il existe un rang $n$ pour lequel $u_n\geq 2$ alors la suite $u_n$ diverge. Vous servir de ce critère pour écrire  un algorithme qui exécutera les taches suivantes :
        \item On va maintenant se servir du critère précédent pour déterminer des valeurs initiales $z_0$ dont on pense qu'elles sont dans l'ensemble de Julia.
        \begin{itemize}
            \item Demander une valeur de départ $Z$ et un nombre maximal de termes à calculer $N$.
            \item \`A partir de cette valeur de départ, calculer les termes successifs de la suite $(z_n)_{n\in\N}$ en calculant leurs parties imaginaires et réelles.
            \item Arrêter le calcul dès que le module d'un des termes dépasse 2.%$|z|\geq 2$
            \item Répondre positivement si, avec la valeur de départ donnée, on estime que la suite des $(z_n)_{n\in\N}$ est bornée.% ou non.
        \end{itemize}
        \item Traduire cet algorithme en un programme avec AlgoBox ou Python.
        \item Exécuter cet algorithme pour différentes valeurs de $z_0$ (en prenant $N\geqslant 50$).% suivantes de $z_0$ : $1+\ci$, $1+2\ci$.
    \end{enumerate}
\end{TP}

