\begin{TP}[Spirales et nombres complexes][\tice\algo]
    Soit $r\neq 0$ un nombre complexe et la suite de nombre complexes définies par $z_0=4$ et\linebreak $z_{n+1}=r\times z_n$. On notera également $A_n$ le point du plan d'affixe $z_n$. On veut étudier certaines\linebreak propriétés de la suite de points $(A_n)_{n\in \N}$ selon les valeurs de $r$.

    \partie{Preuve des conjectures}

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    \begin{enumerate}
        \item Mettre sous forme exponentielle les nombres complexes $1+\ci$, $\frac{\sqrt{2}}{2}(1+\ci)$ et $\frac{\sqrt{2}}{4}(1+\ci)$.
        \item En déduire une preuve de la conjecture du 2).
        \item Exprimer l'angle $\widehat{\left(\vv{OA}_n,~\vv{OA}_{n+1}\right)}$ en fonction de $z_{n+1}$ et $z_n$. En déduire la preuve de la conjecture de la question 3).
        \item Démontrer que la suite$(u_n)_n$ définie par $u_n=OA_n$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison. En déduire la preuve de la conjecture du 4).% a) et de celle du 4) b)
    \end{enumerate}
\end{TP}

