\begin{TP}[La fonction inverse dans les complexes][\tice]
    %\habillage{\includestandalone{\pathmanuel/figures/img-94}}
    On note $f$ la fonction définie de $\C^*$ dans $\C^*$ par $f(z)= \frac{1}{z}$.
    
    \partie{Preuves des conjectures}

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    \begin{enumerate}
        \item En utilisant les propriétés du module, prouver la conjecture des questions  2) et 3) a)
        \item On veut prouver la conjecture de la question  3) b).
        \begin{enumerate}
            \item Justifier qu'un point $M$ d'affixe $z=x+\ci y$ est sur le cercle de centre $A(0~;~1)$ et de rayon 1 si et seulement si : $x^2=1-(y-1)^2.$
            \item Déterminer l'écriture algébrique de $1/z$, l'affixe du point $M$ en fonction de $z=x+\ci y$.
            \item En déduire l'ordonnée des points $M'$ d'affixe $1/z$ lorsque $M(z)$ est sur ce cercle.
        \end{enumerate}
        \item On veut maintenant étudier l'observation de la question 3) c). 
        \begin{enumerate}
            \item Démontrer que le point $M'(1/z)$ est sur le cercle de centre $B\left(0~;~-\dfrac{1}{2}\right)$ et de rayon $\dfrac{1}{2}$ si et seulement si  : $|z-2\ci|=|z|$.
            \item En déduire la preuve de la conjecture du 3) c).
        \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{TP}

