\begin{theoreme}[Lien entre les primitives]
Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$ et $F$ une primitive de $f$ sur $I$.\\
Alors $f$ admet une infinité de primitives sur $I$ qui sont toutes de la forme\\
\centerline{$x \mapsto F(x) + k, \quad k \in \mathbb{R}.$}
\end{theoreme}

\begin{preuve}
\begin{itemize}
 \item Démontrons d'abord que toutes les primitives ont bien la forme
   annoncée. Soit $G$ une primitive de $f$ sur $I$. Alors $G'=f=F'$ et
   donc $G'-F'=0$. 

   La fonction $G-F$, de dérivée nulle, est donc une fonction
   constante sur $I$ : il existe alors un réel $k$ tel que, pour tout
   $x \in I$, $G(x)-F(x) = k$, soit $G(x) = F(x) + k$.
 
 \item Vérifions maintenant que toutes les fonctions de la forme $x \mapsto F(x) + k$, avec $k$ réel, sont bien des primitives de $f$. Soit $k \in \mathbb{R}$ et $G : x \mapsto F(x) + k$ définie sur $I$. Alors $G$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x \in  I$, $G'(x) = F'(x) = f(x)$ : $G$ est donc bien une primitive de $f$ sur $I$.
\end{itemize}
\end{preuve}

