\begin{theoreme}[Existence de primitives]
Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$.
\end{theoreme}

\begin{preuve}
On démontre ce théorème dans le cas où $I$ est un intervalle fermé $[a\,;b]$ et on admettra pour cela le résultat suivant : \og toute fonction continue sur un intervalle $[a\,;b]$ est bornée et atteint ses bornes \fg{}.\\
Soit $f$ une fonction continue sur $I$ et notons $m$ son minimum. La fonction $\varphi :  x \mapsto f(x) - m$ est alors continue et positive sur $I$. D'après le théorème précédent, la fonction $\Phi : x \mapsto \displaystyle{\int_a^x} \varphi(t)\,\mathrm{d}t$ est définie et dérivable sur $I$ et on a, pour tout $x \in I$ : $\Phi'(x) = \varphi(x) = f(x) - m$.\\
Étant donné que l'on cherche une fonction $F$, définie et dérivable sur $I$ telle que $F' = f$, la fonction $F : x \mapsto \Phi(x) + mx$ est une candidate idéale : elle est définie et dérivable sur $I$ et pour tout $x \in  I$, $F'(x) = \Phi'(x) + m = f(x)$.
\end{preuve}

