\begin{theoreme}[{\MotDefinition[Dérivabilité d'une fonction définie\protect\\par une intégrale]{Dérivabilité d'une fonction définie par une intégrale}[Dérivabilité d'une fonction définie par une intégrale]{}}] \label{TSA6_theoreme_derivabilite}
Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a\,;b]$.\\
La fonction $F : x \mapsto \displaystyle{\int_{a}^{x}}f(t)\,\mathrm{d}t$ est définie et dérivable sur $[a\,;b]$ et on a $F' = f$.
\end{theoreme}

\begin{preuve}
On démontre ici cette propriété dans le cas d'une fonction $f$ croissante.\\
Pour tout $x \in [a\,;b]$, $F(x)$ existe bien puisqu'il s'agit de l'aire du domaine compris entre $\mathscr{C}_f$ et l'axe des abscisses, sur l'intervalle $[a\,;x]$.\\
Démontrons maintenant que $F$ est dérivable sur $[a\,;b]$. On considère alors, pour tous $x \in [a\,;b]$ et $h \neq 0$ tel que $x+h \in [a\,;b]$ :
\[
\dfrac{\Delta F}{\Delta x}(x) = \dfrac{F(x+h) - F(x)}{h}.
\]
Si $h > 0$ (voir schéma de gauche ci-dessous), $F(x+h) - F(x)$
représente l'aire du domaine compris entre $\mathscr{C}_f$ et l'axe
des abscisses, sur $[x\,;x+h]$. $f$ étant croissante, cette aire est
comprise entre celles des rectangles de largeur $h$ et de hauteurs
respectives $f(x)$ et $f(x+h)$ :
\[
f(x)h \leqslant F(x+h) - F(x) \leqslant f(x+h)h
\quad
\iff
\quad
f(x) \leqslant \dfrac{\Delta F}{\Delta x}(x) \leqslant f(x+h).
\]
Si $h < 0$ (voir schéma de droite ci-dessous), $F(x) - F(x+h)$
représente l'aire du domaine compris entre $\mathscr{C}_f$ et l'axe
des abscisses, sur $[x+h\,;x]$. $f$ étant croissante, cette aire est
comprise entre celles des rectangles de largeur $-h$ et de hauteurs
respectives $f(x+h)$ et $f(x)$ :
\[
f(x+h)(-h) \leqslant F(x) - F(x+h) \leqslant f(x)(-h)
\quad
\iff
\quad
f(x+h) \leqslant \dfrac{\Delta F}{\Delta x}(x) \leqslant f(x).
\]
\begin{multicols}{2}
   \begin{center}
    \begin{tikzpicture}[general, xscale=1, yscale=1]
     \draw[axe,color=black] (-1,0) -- (4.5,0);
     \draw[axe,color=black] (0,-0.5) -- (0,3.5);
	 \origine
     \draw[color=H1] (2.75,0) node[below] {$x$};
     \draw[color=C1] (3.5,0) node[below] {$x+h$};
     \draw[color=H1] (0,1.5125) node[left] {$f(x)$};
     \draw[color=C1] (0,2.45) node[left] {$f(x+h)$};
     \draw[color=H1, dashed, -] (2.75,0)--(2.75,1.5125);
	 \draw[color=C1, dashed, -] (3.5,0)--(3.5,2.45);
     \draw[color=H1, dashed, -] (0,1.5125)--(2.75,1.5125);
     \draw[color=C1, dashed, -] (0,2.45)--(3.5,2.45);
     \draw[domain=1.5:4, color=B2, smooth] plot(\x,{\x*\x/5});
     \draw(3.75,3.25) [color=B2] node{{\boldmath $\mathscr{C}_f$}};
     \draw(1.5,0) [color=black] node[below]{$a$};
     \draw(4,0) [color=black] node[below]{$b$};
     \draw[dashed] (1.5,0)--(1.5,0.45);
     \draw[dashed] (4,0)--(4,3.2);
	 \fill[color=B2, opacity=0.2] (2.75,0) --
 		(2.75,1.5125) --
 		plot[domain=2.75:3.5] (\x,{\x*\x/5}) --
 		(3.5,0) -- cycle;
 	 \fill[pattern=north east lines] (2.75,0)--(2.75,1.5125)--(3.5,1.5125)--(3.5,0)--cycle;
 	 \fill[pattern=dots] (2.75,0)--(2.75,2.45)--(3.5,2.45)--(3.5,0)--cycle;
    \end{tikzpicture}
   \end{center}
   \columnbreak
   \begin{center}
    \begin{tikzpicture}[general, xscale=1, yscale=1]
     \draw[axe,color=black] (-1,0) -- (4.5,0);
     \draw[axe,color=black] (0,-0.5) -- (0,3.5);
	 \origine
     \draw[color=C1] (2,0) node[below] {$x+h$};
     \draw[color=H1] (2.75,0) node[below] {$x$};
     \draw[color=C1] (0,0.8) node[left] {$f(x+h)$};
     \draw[color=H1] (0,1.5125) node[left] {$f(x)$};
     \draw[color=C1, dashed, -] (2,0)--(2,0.8);
	 \draw[color=H1, dashed, -] (2.75,0)--(2.75,1.5125);
     \draw[color=C1, dashed, -] (0,0.8)--(2,0.8);
     \draw[color=H1, dashed, -] (0,1.5125)--(2.75,1.5125);
     \draw[domain=1.5:4, color=B2, smooth] plot(\x,{(\x*\x/5});
     \draw(3.75,3.25) [color=B2] node{{\boldmath $\mathscr{C}_f$}};
     \draw(1.5,0) [color=black] node[below]{$a$};
     \draw(4,0) [color=black] node[below]{$b$};
     \draw[dashed] (1.5,0)--(1.5,0.45);
     \draw[dashed] (4,0)--(4,3.2);
	 \fill[color=G1, opacity=0.2] (2,0) --
 		(2,0.8) --
 		plot[domain=2:2.75] (\x,{\x*\x/5}) --
 		(2.75,0) -- cycle;
 	 \fill[pattern=north east lines] (2,0)--(2,0.8)--(2.75,0.8)--(2.75,0)--cycle;
 	 \fill[pattern=dots] (2,0)--(2,1.5125)--(2.75,1.5125)--(2.75,0)--cycle;
    \end{tikzpicture}
   \end{center}
   \end{multicols}
$f$ étant une fonction continue, $\displaystyle{\lim_{h \to 0}} f(x+h) = f(x)$ et dans les deux cas, d'après le théorème des gendarmes (voir chapitre A1 p.~\pageref{gendarmes1}), on conclut que $\displaystyle{\lim_{h \to 0}} \dfrac{\Delta F}{\Delta x}(x) = f(x)$.\\
Voir l'exercice \RefExercice{TSA6_theoreme_derivabilite_demo} p. \pageref{TSA6_theoreme_derivabilite_demo} pour le cas où $f$ est une fonction décroissante.
\end{preuve}

