\begin{propriete}[Intégrales et inégalités] \label{TSA6_theoreme_inegalites}
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a\,;b]$. Alors :
 \begin{itemize}
  \item Si $f$ est positive sur $[a\,;b]$, alors $\displaystyle{\int_a^b}f(x)\,\mathrm{d}x \geqslant 0$.
  \item Si pour tout $x \in[a\,;b]$, $f(x) \leqslant g(x)$, alors $\displaystyle{\int_a^b}f(x)\,\mathrm{d}x \leqslant \displaystyle{\int_a^b}g(x)\,\mathrm{d}x$.
 \end{itemize}
\end{propriete}

\begin{preuve}
Voir exercice \RefExercice{TSA6_theoreme_inegalites_demo} p. \pageref{TSA6_theoreme_inegalites_demo}.
\end{preuve}

\begin{remarques}
Les réciproques de chacun des points de cette propriétés sont fausses.
\begin{itemize}
 \item Par exemple $\displaystyle{\int_0^2} (x^2-1)\,\mathrm{d}x = \dfrac{2}{3}$ mais pourtant, la fonction $x \mapsto x^2 - 1$ n'est pas positive sur $[0\,;2]$ : l'image de 0 est $-1$.
 \item De même, $\displaystyle{\int_0^2} 1\,\mathrm{d}x \leqslant \displaystyle{\int_0^2} x^2\,\mathrm{d}x$ puisque $2 \leqslant \dfrac{8}{3}$ mais la fonction $x \mapsto x^2 $ n'est pas toujours supérieure à 1 sur $[0\,;2]$.
\end{itemize}
\end{remarques}

