\begin{propriete}
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a\,;b]$ telles que $f \geqslant g$. Alors, l'aire du domaine compris entre les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ sur $[a\,;b]$ est donnée par $\displaystyle{\int_a^b}(f-g)(x)\,\mathrm{d}x$.
\end{propriete}

\begin{preuve}
On distingue trois cas, selon que les fonctions sont toutes les deux positives, de signes contraires ou toutes les deux négatives :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[general, xscale=1, yscale=1]
 \draw (-0.5,0)--(7,0);
 \draw (0,-0.8)--(0,3.5);
 \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(1,0);
 \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(0,1);
 \draw[color=black] (0,0) node[below left] {$O$};
 \draw[color=black] (0.5,0) node[below] {$\overrightarrow{i}$};
 \draw[color=black] (0,0.5) node[left] {$\overrightarrow{j}$};
 \draw[color=black] (1.3,0) node[below] {$a$};
 \draw[color=black] (2.72,0) node[below] {$\alpha$};
 \draw[color=black] (5.65,0) node[above] {$\beta$};
 \draw[color=black] (6.43,0) node[above] {$b$};
 \draw[dashed] (1.3,0)--(1.3,2.93);
 \draw[dashed] (2.72,0)--(2.72,2);
 \draw[dashed] (5.65,0)--(5.65,-0.42);
 \draw[dashed] (6.43,0)--(6.43,-0.46);
 \draw[domain=1:7, color=A1, smooth] plot(\x,{-ln(\x)^2+3});
 \draw[domain=1.25:7, color=D1, smooth] plot(\x,{1/ln(\x)-1});
 \fill[color=C1, opacity=0.2] plot[domain=1.3:2.72] (\x,{-ln(\x)^2+3})
 						-- (2.72,0)
 						-- plot[domain=2.72:1.3] (\x,{1/ln(\x)-1});
 \fill[color=H1, opacity=0.2] plot[domain=2.72:5.65] (\x,{-ln(\x)^2+3})
 						-- (5.65,-0.42)
 						-- plot[domain=5.65:2.72] (\x,{1/ln(\x)-1})
 						-- cycle;
 \fill[color=J1, opacity=0.2] plot[domain=5.65:6.43] (\x,{-ln(\x)^2+3})
 						-- plot[domain=6.43:5.65] (\x,{1/ln(\x)-1})
 						-- (5.65,0);
 \draw(2,1.5) [color=C1] node {{\boldmath $\mathscr{D}_1$}};
 \draw(4.2,0.4) [color=H1] node {{\boldmath $\mathscr{D}_2$}};
 \draw(6.04,-0.7) [color=J1] node {{\boldmath $\mathscr{D}_3$}};
 \draw(1,2.93) [color=A1] node[left] {{\boldmath $\mathscr{C}_f$}};
 \draw(1.3,2.93) [color=D1] node[above right] {{\boldmath $\mathscr{C}_g$}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{itemize}
 \item Premier cas.\\
 L'aire de $\mathscr{D}_1$ est la différence entre l'aire du domaine compris entre $\mathscr{C}_f$ et l'axe des abscisses et l'aire du domaine compris entre $\mathscr{C}_g$ et l'axe des abscisses, sur l'intervalle $[a\,;\alpha]$ :
 \[
 \mathscr{A}_{\mathscr{D}_1} = \displaystyle{\int_a^{\alpha}}f(x)\,\mathrm{d}x - \displaystyle{\int_a^{\alpha}}g(x)\,\mathrm{d}x = \displaystyle{\int_a^{\alpha}}(f-g)(x)\,\mathrm{d}x.
 \]

 \item Deuxième cas.\\
 L'aire de $\mathscr{D}_2$ est la somme de l'aire du domaine compris entre $\mathscr{C}_f$ et l'axe des abscisses et de l'aire du domaine compris entre $\mathscr{C}_g$ et l'axe des abscisses, sur l'intervalle $[\alpha\,;\beta]$ :
 \[
 \mathscr{A}_{\mathscr{D}_2} = \displaystyle{\int_{\alpha}^{\beta}}f(x)\,\mathrm{d}x + \displaystyle{\int_{\alpha}^{\beta}}(-g)(x)\,\mathrm{d}x = \displaystyle{\int_{\alpha}^{\beta}}(f-g)(x)\,\mathrm{d}x.
 \]

 \item Troisième cas.\\
 L'aire de $\mathscr{D}_3$ est la différence entre l'aire du domaine compris entre $\mathscr{C}_g$ et l'axe des abscisses et l'aire du domaine compris entre $\mathscr{C}_f$ et l'axe des abscisses, sur l'intervalle $[\beta\,;b]$ :
 \[
 \mathscr{A}_{\mathscr{D}_3} = \displaystyle{\int_{\beta}^b}(-g)(x)\,\mathrm{d}x - \displaystyle{\int_{\beta}^b}(-f)(x)\,\mathrm{d}x = \displaystyle{\int_{\beta}^b}(f-g)(x)\,\mathrm{d}x.
 \]
\end{itemize}
On conclut en utilisant la relation de Chasles, puisque l'aire totale est la somme des aires des trois domaines.
\end{preuve}

