\begin{propriete}[{\MotDefinition[Relation de Chasles]{Relation de Chasles}[Relation de Chasles]{}}]
Soient $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a$, $b$, $c$, trois réels appartenant à $I$. Alors :
\[
\int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x + \int_b^c f(x)\,\mathrm{d}x.
\]
\end{propriete}

\begin{preuve}
$f$ étant une fonction continue sur $I$, elle admet une primitive sur cet intervalle. Notons $F$ une primitive de $f$ sur $I$.\\
Pour démontrer l'égalité annoncée, calculons séparément chaque membre de l'égalité :
\begin{itemize}
 \item $\displaystyle{\int_a^c} f(x)\,\mathrm{d}x = F(c) - F(a)$ par définition.
 \item $\displaystyle{\int_a^b} f(x)\,\mathrm{d}x + \displaystyle{\int_b^c} f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a) + F(c) - F(b) = F(c) - F(a)$ toujours par définition puis en réduisant l'expression obtenue.
\end{itemize}
L'égalité annoncée est donc vraie.
\end{preuve}

\begin{remarque}\hfill\\
\parbox[b][9em][t]{0.72\textwidth}{Lorsque $f$ est positive et continue sur $[a\,;c]$ et que $b \in [a\,;c]$, la relation de Chasles est la simple traduction de l'additivité des aires de deux domaines adjacents :
\[\mathscr{A}_{\mathscr{D}_1} + \mathscr{A}_{\mathscr{D}_2} = \mathscr{A}_{\text{totale}}.\]}
\parbox[b][9em][t]{0.002\textwidth}{\hfill}
\parbox[b][9em][t]{0.26\textwidth}{\begin{tikzpicture}[general, xscale=0.7, yscale=0.4]
 \draw (-2.2,0)--(3.2,0);
 \draw (0,-0.5)--(0,4);
 \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(1,0);
 \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(0,1);
 \draw[color=black] (0,0) node[below left] {$O$};
 \draw[color=black] (0.5,0) node[below] {$\overrightarrow{i}$};
 \draw[color=black] (0,0.5) node[left] {$\overrightarrow{j}$};
 \draw[color=black] (-2,0) node[below] {$a$};
 \draw[color=black] (1.5,0) node[below] {$b$};
 \draw[color=black] (3,0) node[below] {$c$};
 \draw[dashed] (-2,0)--(-2,1);
 \draw[dashed] (1.5,0)--(1.5,1.77);
 \draw[dashed] (3,0)--(3,4);
 \draw[domain=-2:3, color=B2, smooth] plot(\x,{(29/240*(\x)^3-7/40*(\x)^2-89/240*(\x)+77/40)*2-1});
 \draw(1.5,2.5) [color=B2] node [right]{{\boldmath $\mathscr{C}_f$}};
 \fill[color=C1, opacity=0.2] (-2,0) --
 		(-2,1) --
 		plot[domain=-2:1.5] (\x,{(29/240*(\x)^3-7/40*(\x)^2-89/240*(\x)+77/40)*2-1}) --
 		(1.5,0) -- cycle;
 \draw(-1,1) [color=C1] node {{\boldmath $\mathscr{D}_1$}};
 \fill[color=H1, opacity=0.2] (1.5,0) --
 		(1.5,1.77) --
 		plot[domain=1.5:3] (\x,{(29/240*(\x)^3-7/40*(\x)^2-89/240*(\x)+77/40)*2-1}) --
 		(3,0) -- cycle;
 \draw(2.25,1) [color=H1] node {{\boldmath $\mathscr{D}_2$}};
\end{tikzpicture}}
\end{remarque}

