\begin{propriete}[Fonction négative et aire]
Soit $f$ une fonction continue et négative sur un intervalle $[a\,;b]$. Alors, l'aire du domaine situé entre $\mathscr{C}_f$ et l'axe des abscisses, sur l'intervalle $[a\,;b]$ est $- \displaystyle{\int_a^b}f(x)\,\mathrm{d}x$.
\end{propriete}

\begin{preuve}On note $\mathscr{D}$ le domaine situé entre $\mathscr{C}_f$ et l'axe des abscisses, sur $[a\,;b]$.\\
\parbox[b][7.5em][t]{0.60\textwidth}{Par symétrie par rapport à l'axe des abscisses, l'aire de $\mathscr{D}$ est égale à l'aire du domaine $\mathscr{E}$, compris entre la courbe de $-f$ et l'axe des abscisses, sur l'intervalle $[a;b]$. Ainsi :
\[\mathscr{A}_{\mathscr{D}} = \mathscr{A}_{\mathscr{E}}
			= \int_a^b (-f)(x)\,\mathrm{d}x = - \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.\]}
\parbox[b][7.5em][t]{0.002\textwidth}{\hfill}
\parbox[b][7.5em][t]{0.35\textwidth}{\begin{tikzpicture}[general, xscale=1, yscale=0.9]
 \draw (-1.3,0)--(3.2,0);
 \draw (0,-1.2)--(0,1.2);
 \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(1,0);
 \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(0,1);
 \draw[color=black] (0,0) node[below left] {$O$};
 \draw[color=black] (0.5,0) node[below] {$\overrightarrow{i}$};
 \draw[color=black] (0,0.5) node[left] {$\overrightarrow{j}$};
 \draw[color=black] (-1,0) node[below left] {$a$};
 \draw[color=black] (3,0) node[below right] {$b$};
 \draw[dashed] (-1,-1/16)--(-1,1/16);
 \draw[dashed] (3,-5/16)--(3,5/16);
 \draw[domain=-1:3, color=A1, smooth] plot(\x,{((\x)^3-8*\x-8)/16});
 \draw[domain=-1:3, color=D1, smooth] plot(\x,{-((\x)^3-8*\x-8)/16});
 \draw(0.4,-1) [color=A1] node {{\boldmath $\mathscr{C}_f$}};
 \draw(0.4,1) [color=D1] node {{\boldmath $\mathscr{C}_{-f}$}};
 \fill[color=C1, opacity=0.2] (-1,0) -- (3,0) -- plot[domain=3:-1] (\x,{((\x)^3-8*\x-8)/16});
 \fill[color=J1, opacity=0.2] plot[domain=-1:3] (\x,{-((\x)^3-8*\x-8)/16}) -- (3,0) -- (-1,0);
 \draw(1.5,-0.5) [color=C1] node {{\boldmath $\mathscr{D}$}};
 \draw(1.5,0.5) [color=J1] node {{\boldmath $\mathscr{E}$}};
\end{tikzpicture}}
\end{preuve}

