\begin{propriete}[Calcul pratique d'une intégrale]
Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[a\,;b]$ et $F$ une primitive de $f$ sur $[a\,;b]$. Alors :
\[\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a) \quad \text{que l'on note aussi} \quad \left[ F(x) \right]_a^b.\]
\end{propriete}

\begin{preuve}
Introduisons la fonction $\Phi : x \mapsto \displaystyle{\int_{a}^x} f(t)\,\mathrm{d}t$ de sorte que $\displaystyle{\int_{a}^b} f(t)\,\mathrm{d}t = \Phi(b)$.\\
$\Phi$ et $F$ étant deux primitives de $f$ sur $[a\,;b]$, on en déduit d'après le théorème précédent qu'il existe un réel $k$ tel que $\Phi(x) = F(x) + k$ pour tout $x \in [a\,;b]$.\\
Ainsi, $\Phi(b) = F(b) + k$. Il nous reste à calculer $k$ : en remarquant que $\Phi(a) = 0$, il vient que $F(a) = -k$ et ainsi, $\Phi(b) = F(b) - F(a)$.
\end{preuve}

\begin{exemple*1}
On souhaite calculer $\displaystyle{\int_0^1} x^2\,\mathrm{d}x$. Pour
cela, posons $f : x \mapsto x^2$, définie sur $[0\,;1]$.

En remarquant que $F : x \mapsto \dfrac{x^3}{3}$ est une primitive de
$f$ sur $[0\,;1]$, on obtient :
\[
\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x = \left[ \dfrac{x^3}{3} \right]_0^1
					= \dfrac{1^3}{3} - \dfrac{0^3}{3} = \dfrac{1}{3}.
\]
\vspace{-2em}
\end{exemple*1}

