\begin{propriete}[Condition d'\MotDefinition{unicité de la primitive}{}]
Soient $x_0 \in I$ et $y_0$ deux réels donnés. Parmi toutes les primitives d'une fonction $f$ définie et continue sur $I$, il en existe une seule qui vérifie la condition $F(x_0) = y_0$.
\end{propriete}

\begin{preuve}
\begin{itemize}
 \item \textbf{Existence :} soit $G$ une primitive de $f$ sur $I$ et considérons $F : x \mapsto G(x) - G(x_0) + y_0$, définie sur $I$. Alors $F$ est aussi une primitive de $f$ sur $I$ et de plus, $F(x_0) = y_0$.
 
 \item \textbf{Unicité :} notons $F$ et $G$ deux primitives de $f$ sur $I$ telles que $F(x_0) = G(x_0) = y_0$\linebreak et démontrons que $F(x) = G(x)$ pour tout $x \in I$. Comme $F$ et $G$ sont deux primitives de $f$, il existe, d'après le théorème précédent, un réel $k$ tel que, pour tout $x \in  I$, $F(x) = G(x) + k$. En particulier, pour $x=x_0$, on obtient $k=0$ et par conséquent $F=G$ sur $I$.
\end{itemize}
\end{preuve}

\begin{remarque}
Pour tout $x_0 \in I$, $F : x \mapsto \displaystyle{\int_{x_0}^x} f(t)\,\mathrm{d}t$ est donc \textit{la} primitive de $f$ sur $I$ s'annulant en $x_0$. En effet, $F$ est bien une primitive de $f$ sur $I$ et c'est la seule vérifiant la condition $F(x_0)=0$ .
\end{remarque}

