\begin{exercice}[D'après Bac (Centres Étrangers - 2015)]
  Le fabricant de cadenas de la marque \og K \fg{} désire imprimer un
  logo pour son entreprise. Ce logo a la forme d'une lettre majuscule
  $K$ stylisée, inscrite dans un carré $ABCD$ de côté une unité de
  longueur et respectant les conditions suivantes :
\begin{itemize}
 \item une des lignes est le segment $[AD]$ ;
 \item une deuxième ligne a pour extrémités le point $A$ et un point $E \in [DC]$ ;
 \item la troisième ligne a pour extrémités le point $B$ et un point $G$ situé sur la deuxième ligne ;
 \item l'aire de chacune des trois surfaces délimitées par les lignes doit être comprise entre 0,3 et 0,4, l'unité d'aire étant celle du carré. On note ces aires $r$, $s$ et $t$.
\end{itemize}

\vspace{-0.5em}

\setlength{\columnseprule}{0pt}
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}[general, scale=2]
  %carré
  \pointFigure{0}{0}{A}{color=black, below left};
  \pointFigure{1}{0}{B}{color=black, below right};
  \pointFigure{1}{1}{C}{color=black, above right};
  \pointFigure{0}{1}{D}{color=black, above left};
  \draw[color=black, dashed] (0,0)--(1,0)--(1,1)--(0,1);
  %point E
  \pointFigure{2/3}{1}{E}{color=black, above};
  %point G
  \pointFigure{4/9}{2/3}{G}{color=black, above left};
  %K
  \draw[color=C1, very thick] (0,0)--(0,1);
  \draw[color=C1, very thick] (0,0)--(2/3,1);
  \draw[color=C1, very thick] (4/9,2/3)--(1,0);
  %remplissage
  \fill[color=G1, opacity=0.2] (0,0)--(2/3,1)--(0,1);
  \draw(0.25,2/3) [color=G1] node {{\boldmath $r$}};
  \fill[color=J1, opacity=0.2] (0,0)--(1,0)--(4/9,2/3);
  \draw(0.5,1/3) [color=J1] node {{\boldmath $s$}};
  \fill[color=D1, opacity=0.2] (1,0)--(4/9,2/3)--(2/3,1)--(1,1);
  \draw(0.75,2/3) [color=D1] node {{\boldmath $t$}};
 \end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{center}
 \begin{tikzpicture}[general, scale=2]
 %carré
  \pointFigure{0}{0}{A}{color=black, below left};
  \pointFigure{1}{0}{B}{color=black, below right};
  \pointFigure{1}{1}{C}{color=black, above right};
  \pointFigure{0}{1}{D}{color=black, above left};
  \draw[color=black, dashed] (0,0)--(1,0)--(1,1)--(0,1);
  %point E
  \pointFigure{{(exp(1)-1)/2}}{1}{E}{color=black, above};
  %point G
  \pointFigure{0.5}{{ln(2)}}{G}{color=black, above left};
  %K
  \draw[color=C1, very thick] (0,0)--(0,1);
  \draw[domain=0:{(exp(1)-1)/2}, smooth, very thick, color=C1] plot(\x,{ln(2*\x+1)});
  \draw[domain=0.5:1, smooth, very thick, color=C1] plot(\x,{ln(2)*(1-\x)/\x});
  %remplissage
  \fill[color=G1, opacity=0.2] plot[domain=0:{(exp(1)-1)/2}] (\x,{ln(2*\x+1)})
 						-- (0,1);
  \draw(0.25,2/3) [color=G1] node {{\boldmath $r$}};
  \fill[color=J1, opacity=0.2] plot[domain=0:0.5] (\x,{ln(2*\x+1)})
 						-- plot[domain=0.5:1] (\x,{ln(2)*(1-\x)/\x});
  \draw(0.5,1/3) [color=J1] node {{\boldmath $s$}};
  \fill[color=D1, opacity=0.2] plot[domain=0.5:{(exp(1)-1)/2}] (\x,{ln(2*\x+1)})
  						-- (1,1)
  						-- (1,0)
 						-- plot[domain=0.5:1] (\x,{ln(2)*(1-\x)/\x});
  \draw(0.75,2/3) [color=D1] node {{\boldmath $t$}};
 \end{tikzpicture}
\end{center}
\end{multicols}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\vspace{-1.5em}
On se place dans le repère orthonormé $(A\,; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD})$.

\partie[1\up{re} proposition]
Dans cette proposition, les trois lignes sont des segments et les trois aires sont égales : $r = s = t = \dfrac{1}{3}$.\\
Déterminer les coordonnées des points $E$ et $G$.

\partie[2\up{e} proposition]
Cette proposition est caractérisée par :
\begin{itemize}
\item la ligne d'extrémités $A$ et $E$ est une portion de la\linebreak
  représentation graphique de la fonction $f$ définie\linebreak sur
  $[0\,;+\infty[$ par $f(x) = \ln(2x+1)$ ;
 \item la ligne d'extrémités $B$ et $G$ est une portion de la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur $]0\,;+\infty[$ par $g(x) = k\dfrac{1-x}{x}$, où $k$ est un réel positif.
\end{itemize}
\vspace{-1em}
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
  \item Déterminer l'abscisse de $E$.
  \item Sachant que l'abscisse de $G$ est 0,5, déterminer $k$.
 \end{enumerate}
 
 \item \begin{enumerate}
  \item Démontrer que $f$ admet pour primitive la fonction $F$ définie pour $x \geqslant 0$ par :
  \begin{center}
   $F(x) = (x+0,5)\ln(2x+1) - x.$
  \end{center}
  \item Démontrer que $r = \dfrac{\text{e}}{2} - 1$.
 \end{enumerate}
 
 \item Déterminer une primitive $G$ de $g$ sur $]0\,;+\infty[$.
 
 \item \begin{enumerate}
  \item Démontrer que $s = \ln(2)^2  + \dfrac{\ln(2)-1}{2}$.
  \item Cette proposition remplit-elle les conditions\linebreak
    imposées ?
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}
