\begin{exercice}[D'après Bac (Amérique du Nord - 2015)]
\partie[]
Soit $u$ la fonction définie sur $]0\,;+\infty[$ par :
\begin{center}
 \vspace{-0.5em}
 $u(x) = \ln(x)+x-3.$
 \vspace{-1em}
\end{center}
\begin{enumerate}
 \item Justifier que $u$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$.
 \item Démontrer que l'équation $u(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ comprise entre 2 et 3.
 \item En déduire le sens de variation de $u(x)$ sur $]0\,;+\infty[$.
\end{enumerate}

\vspace{-1em}

\partie[]
Soit $f$ la fonction définie sur $]0\ ;\ +\infty[$ par :
\begin{center}
 \vspace{-0.5em}
 $f(x) = \left(1-\dfrac{1}{x}\right)(\ln(x)-2)+2.$
 \vspace{-0.5em}
\end{center}
On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un
repère\linebreak orthogonal.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer la limite de $f$ en 0.
 \item \begin{enumerate}
  \item Démontrer que pour tout $x \in ]0\,;+\infty[$ :
  \begin{center}
   $f'(x) = \dfrac{u(x)}{x^2}.$
   \vspace{0.5em}
  \end{center}
  où $u$ est la fonction de la partie \textbf{A}.
  \item En déduire le sens de variation de $f$ sur $]0\,;+\infty[$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\partie[]
On note $\mathscr{C}'$ la courbe d'équation $y = \ln(x)$.
\begin{enumerate}
 \item Démontrer que $\mathscr{C}$ et $\mathscr{C}'$ ont un seul point d'intersection, que l'on déterminera.
 \item Calculer $I = \displaystyle{\int_1^{\text{e}^2}} \dfrac{2-\ln(x)}{x}\,\mathrm{d}x$.\\
 Interpréter géométriquement le résultat.
\end{enumerate}
\end{exercice}

