\begin{exercice}[D'après Bac (Pondichéry-2015)]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{3}{1+\text{e}^{-2x}}$. Dans le repère ci-dessous, on a tracé, dans un repère orthogonal $(O\,;\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ la courbe représentative $\mathscr{C}$ de $f$ ainsi que la droite $(\Delta)$ d'équation $y=3$.

\begin{center}
 \begin{tikzpicture}[general, xscale=0.6, yscale=0.6]
   \draw [quadrillage] (-3,-1) grid (4,4);
   \draw (-3,0)--(4,0);
   \draw (0,-1)--(0,4);
   \draw[color=black] (0,0) node[below left] {$O$};
   \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(1,0);
   \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(0,1);
   \draw[color=black] (0.5,0) node[below] {$\overrightarrow{i}$};
   \draw[color=black] (0,0.5) node[left] {$\overrightarrow{j}$};
   \draw[domain=-3:4, color=A1, smooth] plot(\x,{3/(1+exp(-2*\x))});
   \draw (-1.5,0.5) [color=A1] node{{\boldmath $\mathscr{C}$}};
   \draw[domain=-3:4, color=B1, smooth] plot(\x,3);
   \draw (0.5,3) [color=B1] node[above right]{{\boldmath $(\Delta) : y = 3$}};
 \end{tikzpicture}
\end{center}

\vspace{-0.5em}

Pour tout réel $x$, on pose $h(x) = 3-f(x)$.
\begin{enumerate}
 \item Justifier que $h$ est positive sur $\mathbb{R}$. 
 \item Déterminer une primitive $H$ de $h$ sur $\mathbb{R}$.
 \item Soit $a$ un réel strictement positif.
 \begin{enumerate}
  \item Donner une interprétation graphique de l'intégrale $\displaystyle{\int_0^a} h(x)\,\mathrm{d}x$.
  \item Calculer cette intégrale.
  \item On note $\mathscr{D}$ l'ensemble des points $M(x\,;y)$ du plan
    défini par les inégalités $0 \leqslant x$ et $f(x) \leqslant y \leqslant 3$.\\
    Déterminer l'aire, en u.a., du domaine $\mathscr{D}$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

