\begin{exercice}[D'après Bac (Liban - 2015) \hfill \algo]
On considère la suite $(u_n)$, définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = \displaystyle{\int_0^1} \dfrac{x^n}{1+x}\,\mathrm{d}x$.
\begin{enumerate}
 \item Calculer $u_0$.
 \item \begin{enumerate}
  \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ :
  \[
  u_{n+1} + u_n = \dfrac{1}{n+1}.
  \]
  \item En déduire la valeur exacte de $u_1$.
 \end{enumerate}
 
 \item \begin{enumerate}
  \item Recopier et compléter l'algorithme suivant afin qu'il affiche le terme de rang $n$ de la suite $(u_n)$, où $n$ est un entier naturel saisi par l'utilisateur.
 
 	\begin{algorithme}
     %\titreAlgo{Suite} 
     \BlocVariables
      \DeclareVar{i,n}{entiers}{}
      \DeclareVar{u}{réel}{}
     \BlocEntree
      \Saisir{n}
     \BlocTraitement
      \DonnerValeurImmediate{u}{\ldots}
      \Pour{i}{\ldots}{\ldots}{
       \DonnerValeurImmediate{u}{\ldots}
      }
      \BlocSortie
       \Afficher{u}
     \FinAlgo
    \end{algorithme}
    
  \item À l'aide de l'algorithme, on a obtenu le tableau de valeurs suivant :
  \vspace{1em}
  \begin{center}
	\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|c||*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
	\hline
	$n$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\
	\hline
	$u_n$ & 0,631 & 0,3069 & 0,1931 & 0,1402 & 0,1098\\
	\hline
	\end{tabularx}
  \end{center}
  \begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|c||*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
	\hline
	$n$ & 5 & 10 & 50 & 100\\
	\hline
	$u_n$ & 0,0902 & 0,0475 & 0,0099 & 0,0050\\
	\hline
	\end{tabularx}
  \end{center}
  Quelles conjectures concernant le comportement de la suite $(u_n)$ peut-on émettre ?
  \end{enumerate}
  
  \item \begin{enumerate}
   \item Démontrer que $(u_n)$ est décroissante.
   \item Démontrer que $(u_n)$ est convergente.
  \end{enumerate}
  
  \item On appelle $\ell$ la limite de $(u_n)$. Démontrer que $\ell=0$.

\end{enumerate}
\end{exercice}

