\begin{exercice}[Méthode des rectangles \hfill \algo] \label{TSA6_E_methode_rectangles}
On souhaite déterminer une valeur approchée de $\displaystyle{\int_0^3} \dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}\,\mathrm{d}x$.
\begin{enumerate}
 \item Démontrer que la fonction à intégrer est décroissante sur $I = [0\,;3]$.
 \item Pour $n \in \mathbb{N}^{*}$, on découpe $I$ en $n$ intervalles
   de même amplitude, que l'on note $I_k$, pour $k=0, \ldots, n-1$ et
   sur chaque intervalle, on construit le rectangle\linebreak \og
   inférieur \fg{}.
  \begin{enumerate}
   \item Faire un schéma.
   \item Quelle est l'amplitude des intervalles $I_k$ ?
   \item On note $I_k=[x_k\,; x_{k+1}]$. Pour tout
     $k=0, \ldots, n$,\linebreak exprimer $x_k$ en fonction de $k$ et
     $n$.
   \item Pour tout $k= 0, \ldots, n-1$, quelle est l'aire du\linebreak
     rectangle construit sur l'intervalle $I_k$ ?
   \item Compléter l'algorithme permettant de calculer la somme des aires des rectangles inférieurs :
   
   \begin{algorithme}
     %\titreAlgo{Méthode Rectangles} 
     \BlocVariables
      \DeclareVar{k,n}{entiers}{}
      \DeclareVar{Sinf}{réel}{}
     \BlocEntree
      \Saisir{n}
     \BlocTraitement
      \DonnerValeurImmediate{Sinf}{0}
      \Pour{k}{\ldots}{\ldots}{
       \DonnerValeurImmediate{Sinf}{\ldots}
      }
      \BlocSortie
       \Afficher{Sinf}
     \FinAlgo
    \end{algorithme}
  \end{enumerate}
  
  \item Reprendre la question \textcolor{G1}{\textbf{2)}} avec les rectangles supérieurs et compléter l'algorithme pour qu'il affiche aussi la valeur de \texttt{Ssup}.
  
  \item Modifier cet algorithme pour qu'il s'arrête lorsque la différence entre \texttt{Ssup} et \texttt{Sinf} devient inférieure à $10^{-2}$. On fera aussi afficher la valeur de $n$ correspondant à la subdivision de $I$ permettant d'obtenir cette précision.
\end{enumerate}
\end{exercice}

