\begin{methode*1}[Encadrer une intégrale \MethodeRefExercice*{TSA6_E_encadrement}]
\exercice \label{TSA6_M_encadrement}
Soit $f : x \mapsto \text{e}^{-x^2}$ définie sur $\mathbb{R}$.\\
Pour tout réel $a \geqslant 1$, on s'intéresse à l'intégrale $F(a) = \displaystyle{\int_1^a} f(x)\,\mathrm{d}x$.
\begin{enumerate}
 \item Démontrer que pour tout réel $x \geqslant 1$, $0 \leqslant f(x) \leqslant \text{e}^{-x}$.
 \item En déduire que pour tout réel $a \geqslant 1$, $0 \leqslant F(a) \leqslant \text{e}^{-1}$.
\end{enumerate}

\correction
\begin{enumerate}
 \item Une exponentielle étant toujours positive, $f(x) \geqslant 0$ pour tout réel $x$ et donc en particulier pour tout $x \geqslant 1$. De plus, si $x \geqslant 1$, alors $x \leqslant x^2$, c'est-à-dire $-x \geqslant -x^2$ et donc $\text{e}^{-x} \geqslant f(x)$ par croissance de la fonction exponentielle.\\
 On en déduit donc que pour tout réel $x \geqslant 1$, $0 \leqslant f(x) \leqslant \text{e}^{-x}$.
 \item À partir de l'inégalité obtenue, on utilise (deux fois) le second point de la propriété précédente sur l'intervalle $[1\,;a]$ et ainsi :
 \[
 \int_1^a 0\,\mathrm{d}x \leqslant \int_1^a f(x)\,\mathrm{d}x \leqslant \int_1^a \text{e}^{-x}\,\mathrm{d}x
 \quad
 \iff
 \quad
 0 \leqslant F(a) \leqslant \left[-\text{e}^{-x} \right]_1^a.
 \]
 Cette dernière quantité est égale à $-\text{e}^{-a}+\text{e}^{-1} \leqslant \text{e}^{-1}$, ce qui démontre l'inégalité voulue.
\end{enumerate}
\end{methode*1}

