\begin{methode*1}[Calculer une \MotDefinition{aire entre deux courbes}{} \MethodeRefExercice*{TSA6_E_calcul_aire}]
\begin{enumerate}
 \item Commencer par étudier sur $I$ les positions relatives des courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ puis décomposer l'intervalle $I$ en sous-intervalles sur lesquels $f-g$ garde un signe constant.
 \item Sur chaque sous intervalle, calculer, selon les cas, l'intégrale de $f-g$ ou de $g-f$.
\end{enumerate}

\exercice \label{TSA6_M_calcul_aire} 
Soient $f : x \mapsto x^2-4$ et $g : x \mapsto (x+2)(x-2)(x+1)$ définies sur $\mathbb{R}$.\\
Déterminer l'aire, en u.a., du domaine compris entre les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$, sur l'intervalle $[-2\,;2]$.

\correction
\begin{enumerate}
 \item On calcule la différence $f(x)-g(x) = x^2-4 - (x+2)(x-2)(x+1)$ et en factorisant, on a :\\
 \parbox[b][15em][t]{0.50\textwidth}{$ f(x) - g(x) = (x^2-4)(1-x-1) = -x(x^2-4)$.\\On en déduit le tableau de signes suivant :
 \begin{center}
  \begin{tikzpicture}[general,yscale=0.48]
  \tkzTabInit[lgt=3, espcl=1.5, color, colorC=H4, colorV=H4, colorL=H4, colorT=A4, lw=0.3mm]
  {$x$ / 1, $x^2-4$ / 1, $-x$ / 1, $f(x)-g(x)$ / 1}
  {$-2$, 0, 2}
  \tkzTabLine{z, -,  , -, z}
  \tkzTabLine{ , +, z, -,  }
  \tkzTabLine{z, -, z, +, z}
 \end{tikzpicture}
 \end{center}
 On décompose donc l'intervalle $I=[-2\,;2]$ en deux sous-intervalles $I_1 = [-2\,;0]$ et $I_2 = [0\,;2]$ sur lesquels on intègre respectivement $g-f$ et $f-g$.}
\parbox[b][15em][t]{0.02\textwidth}{\hfill}
\parbox[b][15em][t]{0.50\textwidth}{\begin{tikzpicture}[general, xscale=0.85, yscale=0.5,overlay,yshift=-2.5cm,xshift=3cm]
 \draw [quadrillage] (-3,-7) grid (3,2);
 \draw (-3,0)--(3,0);
 \draw (0,-7)--(0,2);
 \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(1,0);
 \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(0,1);
 \draw[color=black] (0,0) node[below left] {$O$};
 \draw[color=black] (0.5,0) node[below] {$\overrightarrow{i}$};
 \draw[color=black] (0,0.5) node[left] {$\overrightarrow{j}$};
 \draw[domain=-2.45:2.45, color=B2, smooth] plot(\x,{(\x)^2-4});
 \draw[domain=-2.8:2.15, color=D1, smooth] plot(\x,{(\x+2)*(\x-2)*(\x+1)});
 \draw(-2.6,0.5) [color=A1] node {{\boldmath $\mathscr{C}_f$}};
 \draw(-2.6,-1.5) [color=D1] node {{\boldmath $\mathscr{C}_g$}};
 \fill[color=C1, opacity=0.2] plot[domain=-2:2] (\x,{(\x+2)*(\x-2)*(\x+1)})
 						-- plot[domain=2:-2] (\x,{(\x)^2-4});
 \draw(-1,-1.5) [color=C1] node {{\boldmath $\mathscr{D}$}};
\end{tikzpicture}}

\item Ainsi, $\mathscr{A}_{\mathscr{D}} = \displaystyle{\int_{-2}^0} x(x^2-4)\,\mathrm{d}x
							+ \displaystyle{\int_0^2} -x(x^2-4)\,\mathrm{d}x
							= \left[ \dfrac{(x^2-4)^2}{4} \right]_{-2}^0
							- \left[ \dfrac{(x^2-4)^2}{4} \right]_0^2$.\\
 D'une part, $\left[ \dfrac{(x^2-4)^2}{4} \right]_{-2}^0 = \dfrac{(-4)^2}{4} - \dfrac{0^2}{4}
 														= 4$.\\
 D'autre part, $\left[ \dfrac{(x^2-4)^2}{4} \right]_0^2 = \dfrac{0^2}{4} - \dfrac{(-4)^2}{4}
 														= -4$.\\
 Ainsi, $\mathscr{A}_{\mathscr{D}} = 8$ u.a.
\end{enumerate}

\vspace{-\baselineskip}
\end{methode*1}

