\begin{methode*1}[Utiliser la linéarité de l'intégrale \MethodeRefExercice*{TSA6_E_linearite}]
\exercice \label{TSA6_M_linearite}
Soient
$I = \displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{2}}} \dfrac{\sin(x)}{\sin(x)+\cos(x)} \, \mathrm{d}x$
et
$J = \displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{2}}} \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)+\cos(x)} \, \mathrm{d}x$.
\vspace{0.5em}
\begin{enumerate}
 \item Pourquoi ne peut-on pas calculer directement $I$ ou $J$ ?
 \item Calculer $I+J$ et $I-J$.
 \item En déduire les valeurs respectives de $I$ et $J$.
\end{enumerate}

\correction
\begin{enumerate}
 \item Aucune des deux fonctions $x \mapsto \dfrac{\sin(x)}{\sin(x)+\cos(x)}$ et $x \mapsto \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)+\cos(x)}$ ne correspondent à des dérivées connues et, bien qu'elles soient continues sur $\left[0\,; \dfrac{\pi}{2} \right]$, on ne peut pas en donner immédiatement des primitives.
 \vspace{0.5em}
 
 \item Par linéarité de l'intégrale, on a :
 \[
 I+J = \displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{2}}} \dfrac{\sin(x)+\cos(x)}{\sin(x)+\cos(x)} \, \mathrm{d}x = \displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{2}}} \mathrm{d}x = \dfrac{\pi}{2}.
 \]
 De même :
 \[
 I-J = \displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{2}}} \dfrac{\sin(x)-\cos(x)}{\sin(x)+\cos(x)} \, \mathrm{d}x.
 \]
 On reconnaît ici une dérivée de la forme $\dfrac{u'}{u}$, au signe près, puisque la dérivée de la fonction $u : x \mapsto \sin(x) + \cos(x)$ est $u' : x \mapsto \cos(x) - \sin(x)$. Ainsi, étant donné que $u$ est bien positive sur $\left[0\,; \dfrac{\pi}{2} \right]$, on a :
 \[
 I-J = - \Big[ \ln(\sin(x) + \cos(x)) \Big]_0^{\frac{\pi}{2}} = 0.
 \]
 
 \item On doit résoudre le système suivant :
 \[
  {
  \left\lbrace
   \begin{array}{ccc}
    I+J & = & \dfrac{\pi}{2}\\[3mm]
    I-J & = & 0
   \end{array}
  \right.
  }
  \iff
  {
  \left\lbrace
   \begin{array}{ccc}
    2I & = & \dfrac{\pi}{2}\\[3mm]
    I & = & J
   \end{array}
  \right.
  }
  \iff\ \ 
  {
  I = J = \dfrac{\pi}{4}
  }
 \]
\end{enumerate}

\vspace{-\baselineskip}
\end{methode*1}

