\begin{methode*1}[Déterminer des primitives sur un intervalle donné
						\MethodeRefExercice*{TSA6_E_calcul_primitives_operations}]

 \begin{enumerate}
  \item Commencer par identifier le type de $f$, la fonction $u$, ainsi que le type de primitive.
  \item Dériver ce type de primitive.
  \item Ajuster les coefficients, en fonction du résultat précédent puis écrire les primitives.
 \end{enumerate}
 
 \exercice \label{TSA6_M_calcul_primitives_operations}\hfill\\
 Déterminer les primitives de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle donné.
 \vspace{-0.5em}
 \begin{multicols}{2}
   \begin{enumerate}
    \item $f(x) = (2x-1)^3$ sur $\mathbb{R}$ \vspace{1em}
    \item $g(x) = \dfrac{x}{x^2-1}$ sur $]1\,;+\infty[$
    \item $h(x) = \dfrac{1}{(2x-1)^2}$ sur $I = \left]\dfrac{1}{2}\,; +\infty \right[$
    %\item $i(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x+1}} + x\text{e}^{x^2}$ sur $]-1 ; +\infty[$
   \end{enumerate}
  \end{multicols}

  \vspace{-1mm}
  
  \correction
  \begin{enumerate}
   \item $f$ est du type $u'u^3$ avec $u : x \mapsto 2x-1$ définie sur $\mathbb{R}$, une primitive sera donc du type $u^{4}$.\\
   Or, $\left( (2x-1)^4 \right)' = 4 \times 2 \times (2x-1)^3 = 8(2x-1)^3$.\\
   On écrit alors $f(x) = \dfrac{1}{8} \times 8(2x-1)^3$ et les primitives de $f$ sur $\mathbb{R}$ sont définies par :
   \begin{center}
   $F(x) = \dfrac{1}{8}(2x-1)^4 + k, k \in \mathbb{R}$.
   \end{center}
   
   \item $g$ est du type $\dfrac{u'}{u}$ avec $u : x \mapsto x^2 - 1$, $u(x)>0$ sur $]1\,; +\infty[$, une primitive sera donc du type $\ln(u)$.\\
   Or, $\left( \ln(x^2-1) \right)' = \dfrac{2x}{x^2-1}$. On écrit alors $g(x) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2x}{x^2-1}$ et les primitives de $g$ sur $]1\,; +\infty[$ sont définies par :
   \begin{center}
   $G(x) = \dfrac{1}{2}\ln(x^2-1) + k, k \in \mathbb{R}$.
   \end{center}
   
   \item $h$ est du type $\dfrac{u'}{u^2}$ avec $u : x \mapsto 2x-1$, $u(x) \neq 0$ sur $I$, une primitive sera donc du type $\dfrac{1}{u}$.\\
   Or, $\left( \dfrac{1}{2x-1} \right)' = - \dfrac{2}{(2x-1)^2}$. On écrit alors $h(x) = -\dfrac{1}{2} \times \dfrac{-2}{(2x-1)^2}$ et les primitives de $h$ sur $I$ sont définies par :
   \begin{center}
   $H(x) = -\dfrac{1}{2(2x-1)} + k,  k \in \mathbb{R}$.
   \end{center}
   
   %\item $i$ est la somme de deux fonctions, l'une de la forme $\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$ avec $u : x \mapsto x+1$, définie et positive sur $]-1;+\infty[$, l'autre de la forme $v'\text{e}^v$ avec $v : x \mapsto x^2$ définie sur $]-1;+\infty[$.\\
   %Or, $\left( \sqrt{x+1} \right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}$ et $\left(\text{e}^{x^2} \right)' = 2x\text{e}^{x^2}$. Ainsi, les primitives de $i$ sur $]-1;+\infty[$ sont définies par :\\
   %\centerline{$I(x) = 2\sqrt{x+1} + \dfrac{1}{2}\text{e}^{x^2} + k, k\in \mathbb{R}$}
  \end{enumerate}
  \vspace{-\baselineskip}
\end{methode*1}

