\begin{methode*1}[Utiliser les propriétés élémentaires des primitives
						\MethodeRefExercice*{TSA6_E_proprietes_primitives}]
 \exercice\label{TSA6_M_proprietes_primitives}
 Soient $\varphi$ et $\psi$ les fonctions définies sur $[1\,;+\infty[$ par :
 \[
 \varphi(x) = \int_1^x t^2\,\mathrm{d}t \quad \text{et} \quad \psi(x) = \dfrac{x^3}{3}.
 \]
 \begin{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
   \item Démontrer que $\varphi$ et $\psi$ sont deux primitives sur $[1\,;+\infty[$ d'une même fonction $f$ que l'on précisera.
    \item En déduire la relation qu'il existe entre $\varphi$ et $\psi$.
  \end{enumerate}
  
  \item Déterminer la primitive $F$ de $f$ telle que $F(1) = 3$.
 \end{enumerate}
 
 \correction
 \begin{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
   \item $f : t \mapsto t^2$ est continue et positive sur $[1\,;+\infty[$ donc d'après le théorème p.~\pageref{TSA6_theoreme_derivabilite}, $\varphi$ est définie et dérivable sur $[1\,;+\infty[$ et on a $\varphi' = f$. De plus, pour tout $x \geqslant 1$, $\psi'(x) = x^2$.
   \item $\psi$ est une primitive de $f$ sur $[1\,;+\infty[$ donc $\varphi$ est de la forme $\varphi(x) = \psi(x) + k$, $k \in \mathbb{R}$ pour tout $x \geqslant 1$. En particulier, $\varphi(1) = \psi(1) + k$ et donc $0 = \dfrac{1}{3} + k$, c'est-à-dire $k = -\dfrac{1}{3}$. On en déduit alors que pour tout $x \geqslant 1$, $\varphi(x) = \psi(x) - \dfrac{1}{3}$.
  \end{enumerate}
  
  \item Les primitives de $f$ sur $[1\,;+\infty[$ sont donc de la forme $F : x \mapsto \dfrac{x^3}{3} + k$, $k \in \mathbb{R}$.\\
  $F(1) = 3$ donc $\dfrac{1}{3}+k=3$ donc $k = \dfrac{8}{3}$ et ainsi
  $F(x) = \dfrac{x^3+8}{3}$ pour tout réel $x\geqslant 1$.
 \end{enumerate}
\end{methode*1}

