\begin{definition}[\MotDefinition{Valeur moyenne}{}]
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a\,;b]$. La valeur moyenne de $f$ sur $[a\,;b]$ est le nombre $\mu$ défini par :
\[
\mu = \dfrac{1}{b-a} \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t.
\]
\end{definition}

\begin{remarque}\hfill\\
\parbox[b][11em][t]{0.60\textwidth}{Dans le cas où $f$ est positive et continue sur $[a\,;b]$, la valeur moyenne de $f$ entre $a$ et $b$ représente la hauteur du rectangle construit sur l'intervalle $[a\,;b]$.\\
L'aire du rectangle $ABCD$ est égale, en u.a., à l'aire du domaine coloré car d'après la définition :
\[\mu(b-a) = \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t.\]}
\parbox[b][11em][t]{0.02\textwidth}{\hfill}
\parbox[b][11em][t]{0.38\textwidth}{\begin{tikzpicture}[general, xscale=1, yscale=1.3]
 \draw (-1.2,0)--(2.2,0);
 \draw (0,-0.2)--(0,2);
 \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(1,0);
 \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(0,1);
 \draw[color=black] (0,0) node[below left] {$O$};
 \draw[color=black] (0.5,0) node[below] {$\overrightarrow{i}$};
 \draw[color=black] (0,0.5) node[left] {$\overrightarrow{j}$};
 \draw[domain=-1:2, color=B2, smooth] plot(\x,{((\x)^3-(\x)^2+2)/3});
 \draw(2,2) [color=B2] node[right] {$y = f(x)$};
 \draw(-1,0) node[below] {$A(a\,;0)$};
 \draw(2,0) node[below] {$B(b\,;0)$};
 \draw(2,3/4) node[above right] {$C$};
 \draw(-1,3/4) node[above left] {$D$};
 \fill[color=C1, opacity=0.2] plot[domain=-1:2] (\x,{((\x)^3-(\x)^2+2)/3})
 						-- (2,0) -- cycle;
 \draw[domain=-1.2:2.2, color=D1, smooth] plot(\x,3/4);
 \draw(2.4,3/4) [color=D1] node[right] {$y = \mu$};
 \draw[color=D1] (-1,3/4)--(-1,0)--(2,0)--(2,3/4);
 \fill[pattern=dots, pattern color=D1] (-1,3/4)--(-1,0)--(2,0)--(2,3/4)--cycle;
\end{tikzpicture}}
\end{remarque}

\begin{exemple*1}
Pour connaître la valeur moyenne de $t \mapsto \sin(t)$ sur $[0\,;\pi]$, on calcule :
\[
\dfrac{1}{\pi} \int_0^{\pi} \sin(t)\,\mathrm{d}t = \dfrac{1}{\pi} \left[- \cos(x) \right]_0^{\pi}
											= \dfrac{-\cos(\pi) + \cos(0)}{\pi}
											=\dfrac{2}{\pi}.
\]
\vspace{-1em}
\end{exemple*1}

\begin{remarques}
\begin{itemize}
 \item En mathématiques, si $f$ est une fonction non constante, la valeur moyenne de $f$ sur $[a\,;b]$ est la valeur de la fonction constante ayant la même intégrale que $f$ sur $[a\,;b]$.
 \item En physique, si $f$ est une fonction qui représente une intensité variable, la valeur moyenne de $f$ entre deux instants $t_1$ et $t_2$ est l'intensité du courant constant transportant la même quantité d'électricité que le courant variable entre $t_1$ et $t_2$.
\end{itemize}
\end{remarques}

