\section{Intégrale d'une fonction continue et positive}
\begin{definition}[Notion d'intégrale]
\parbox[b][9em][t]{0.60\textwidth}{Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a\,;b]$ de courbe représentative $\mathscr{C}_f$ dans un repère orthogonal $(O\,; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$.\\
L'\MotDefinition[Intégrale (définition)]{intégrale de $a$ à $b$ de $f$}{} est l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine situé entre la courbe $\mathscr{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.}
\parbox[b][9em][t]{0.002\textwidth}{\hfill}
\parbox[b][9em][t]{0.38\textwidth}{\begin{tikzpicture}[general, xscale=0.9, yscale=0.6]
 \fill[color=G1, opacity=0.8] (0,0)--(1,0)--(1,1)--(0,1)--(0,0);
 \draw (-2,0)--(3,0);
 \draw (0,-0.5)--(0,4);
 \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(1,0);
 \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(0,1);
 \draw[color=black] (0,0) node[below left] {$O$};
 \draw[color=black] (0.5,0) node[below] {$\overrightarrow{i}$};
 \draw[color=black] (0,0.5) node[left] {$\overrightarrow{j}$};
 \draw[color=black] (-2,0) node[below] {$a$};
 \draw[color=black] (3,0) node[below] {$b$};
 \draw[dashed] (-2,0)--(-2,1);
 \draw[dashed] (3,0)--(3,4);
 \draw[domain=-2:3, color=A1, smooth] plot(\x,{(29/240*(\x)^3-7/40*(\x)^2-89/240*(\x)+77/40)*2-1});
 \draw(1.5,2.2) [color=A1] node [right]{{\boldmath $\mathscr{C}_f$}};
 \fill[color=G1, opacity=0.2] (-2,0) --
 		(-2,1) --
 		plot[domain=-2:3] (\x,{(29/240*(\x)^3-7/40*(\x)^2-89/240*(\x)+77/40)*2-1}) --
 		(3,0) -- cycle;
\end{tikzpicture}}
Cette aire se note $\displaystyle{\int_{a}^{b}}f(x)\,\mathrm{d}x$ et on prononce \og intégrale (ou somme) de $a$ à $b$ de $f(x)\,\mathrm{d}x$ \fg{}.
\end{definition}

\begin{remarques}
\begin{itemize}
 \item $a$ et $b$ s'appellent respectivement \og borne inférieure \fg{} et \og borne supérieure \fg{} de l'intégrale.
 \item La valeur de l'intégrale ne dépend que de $a$, $b$ et $f$ ; la variable $x$ n'intervenant pas dans le résultat, on dit qu'elle est muette et l'on peut donc noter indifféremment :
 \[\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x = \int_{a}^{b}f(t)\,\mathrm{d}t = \int_{a}^{b}f(u)\,\mathrm{d}u = \ldots\]
 \item Pour toute fonction $f$ continue et positive en un réel $a$, $\displaystyle{\int_{a}^{a}}f(x)\,\mathrm{d}x = 0$ puisqu'il s'agit de l'aire d'un segment de hauteur $f(a)$.
 \item Le symbole $\displaystyle{\int}$ est dû à G. W. Leibniz, (1646-1716). Il ressemble à un \og s \fg{} allongé, rappelant que l'aire peut être calculée comme la somme de petites aires élémentaires.
\end{itemize}
\end{remarques}

\begin{exemple*1}
Soit $f : x \mapsto \dfrac{x}{2} + 2$ définie sur $[-3\,; 2]$.\\
\parbox[b][10em][t]{0.72\textwidth}{
Le domaine colorié est un trapèze dont l'aire est :
\[\int_{-3}^{2}f(x)\,\mathrm{d}x = \dfrac{0,5+3}{2} \times 5 = 8,75 \text{ u.a.}\]
Les unités graphiques étant 0,6 cm pour l'axe des abscisses et 1 cm  pour l'axe des ordonnées, 1 u.a. représente 0,6 cm\up{2} et donc l'aire coloriée représente 5,25 cm\up{2}.}
\parbox[b][10em][t]{0.002\textwidth}{\hfill}
\parbox[b][10em][t]{0.16\textwidth}{\begin{center}\begin{tikzpicture}[general, xscale=0.66, yscale=1]
 \fill[color=G1, opacity=0.8] (0,0)--(1,0)--(1,1)--(0,1)--(0,0);
 \draw [quadrillage] (-3,0)grid (2,3);
 \draw (-3,0)--(2,0);
 \draw (0,0)--(0,3);
 \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(1,0);
 \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(0,1);
 \draw[color=black] (0,0) node[below left] {$O$};
 \draw[color=black] (0.5,0) node[below] {$\overrightarrow{i}$};
 \draw[color=black] (0,0.5) node[left] {$\overrightarrow{j}$};
 \draw[color=black] (-3,0) node[below] {$-3$};
 \draw[color=black] (2,0) node[below] {$2$};
 \draw[dashed] (-3,0)--(-3,0.5);
 \draw[dashed] (2,0)--(2,3);
 \draw[domain=-3:2, color=A1, smooth] plot(\x,{1/2*\x+2});
 \draw(-2.5,1.5) [color=A1] node {{\boldmath $\mathscr{C}_f$}};
 \fill[color=G1, opacity=0.2] (-3,0) --
 		(-3,0.5) --
 		plot[domain=-3:2] (\x,{1/2*\x+2}) --
 		(2,0) -- cycle;
\end{tikzpicture}\end{center}}
\end{exemple*1}

\begin{exemple*1}
Soit $f : x \mapsto 1$ définie sur $[a\,; b]$.\\
\vspace{0.5em}
\parbox[b][4.5em][t]{0.72\textwidth}{
Le domaine colorié est un rectangle de longueur $b-a$ et de largeur~1. Ainsi :
\[\int_{a}^{b}\mathrm{d}x = b-a \text{ u.a.}\]}
\parbox[b][4.5em][t]{0.002\textwidth}{\hfill}
\parbox[b][4.5em][t]{0.16\textwidth}{\begin{tikzpicture}[general, xscale=1, yscale=1]
 \fill[color=G1, opacity=0.8] (0,0)--(1,0)--(1,1)--(0,1)--(0,0);
 \draw (-2.2,0)--(1.7,0);
 \draw (0,-0.2)--(0,1.2);
 \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(1,0);
 \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(0,1);
 \draw[color=black] (0,0) node[below left] {$O$};
 \draw[color=black] (0.5,0) node[below] {$\overrightarrow{i}$};
 \draw[color=black] (0,0.5) node[left] {$\overrightarrow{j}$};
 \draw[color=black] (-2,0) node[below] {$a$};
 \draw[color=black] (1.5,0) node[below] {$b$};
 \draw[dashed] (-2,0)--(-2,1);
 \draw[dashed] (1.5,0)--(1.5,1);
 \draw[domain=-2:1.5, color=A1, smooth] plot(\x,{1});
 \draw(1.5,1) [color=A1] node[right] {{\boldmath $\mathscr{C}_f$}};
 \fill[color=G1, opacity=0.2] (-2,0) -- (-2,1) -- (1.5,1) -- (1.5,0) -- cycle;
\end{tikzpicture}}
\end{exemple*1}

