\begin{exercice}[Valeur moyenne d'un signal] \label{TSA6_E_valeur_moyenne}
On souhaite calculer la valeur moyenne sur une période de deux types de signaux périodiques.
\begin{enumerate}
 \item On considère un signal purement sinusoïdal. La fonction le représentant peut se mettre sous la forme $u(t) =u_0 \cos( \omega t + \varphi)$ où $u_0$ est l'amplitude du signal, $\omega$ sa pulsation et $\varphi$ la phase à l'origine.
 \begin{enumerate}
  \item Rappeler la plus petite période de la fonction $\cos$.
  \item Soit $T$ la plus petite période de $u$. En écrivant que pour tout réel $t$, $u(t+T) = u(t)$, en déduire une expression de $T$ en fonction de $\omega$.
  \item Déterminer une primitive de $u$ sur $\mathbb{R}$.
  \item En déduire la valeur moyenne du signal $v$ sur l'intervalle $[a\,;a+T]$.
 \end{enumerate}
 
 \item On considère la fonction $v$ suivante, représentant un signal triangulaire de période $T$, où $a$ est un réel :

{\centering
$v(t) = \left\lbrace
			\begin{array}{ccc}
				-a\left( \dfrac{4t}{T}+1 \right) & \text{si} & -\dfrac{T}{2} \leqslant t \leqslant 0\\
				a\left( \dfrac{4t}{T}-1 \right) & \text{si} & 0 \leqslant t \leqslant \dfrac{T}{2}
			\end{array}
		\right..$\par}

\vspace{-\baselineskip}
 \begin{enumerate}
  \item Représenter graphiquement $v$ pour $a = 1$ et $T =~\pi$.
  \item Quelle semble être la valeur de l'intégrale de $v$ sur
    l'intervalle $\left[-\dfrac{T}{2}\,; \dfrac{T}{2} \right]$ ?
  \item Le démontrer dans le cas général.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

