\begin{exercice}
Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$ centré en 0. On note $F$ une primitive de $f$ sur~$I$.\\
On dit qu'une fonction $f$ est paire (resp. impaire) lorsque pour tout $x \in I$, on a $f(-x) = f(x)$ (resp. $f(-x) = -f(x)$).
\begin{enumerate}
 \item Représenter graphiquement une fonction paire et une fonction impaire.
 \item On suppose $f$ impaire.
 \begin{enumerate}
  \item En calculant la dérivée de $x \mapsto F(-x)$, démontrer qu'il existe un réel $k$ tel que pour tout $x \in I$, $F(-x) = F(x) + k$.
  \item Déterminer la valeur de $k$. Que peut-on alors dire sur $F$ ?
 \end{enumerate}
 
 \item On suppose $f$ paire.
 \begin{enumerate}
  \item Démontrer qu'il existe un réel $k$ tel que pour tout $x \in I$, $F(-x) = - F(x) + k$.
  \item Déterminer la valeur de $k$ en fonction de $F$.
  \item À quelle condition $F$ est-elle impaire ?
 \end{enumerate}
 
 \item Applications : on reprend les fonctions $F$ et $H$ de l'exercice \RefExercice{TSA6_E_etude_fonction} définies maintenant sur $\mathbb{R}$.
 \begin{enumerate}
  \item Démontrer que $F$ est impaire. En déduire son sens de variation sur $\mathbb{R}$.
  \item Démontrer que $H$ est impaire. En déduire son sens de variation sur $\mathbb{R}$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

