\begin{exercice} \label{TSA6_E_etude_fonction}
Soit $F : x \mapsto \displaystyle{\int_0^x} \text{e}^{-t^2} \mathrm{d}t$ définie sur $\mathbb{R}^{+}$.
\begin{enumerate}
 \item Donner les raisons permettant d'affirmer que $F$ :
 \begin{enumerate}
  \item est dérivable sur $\mathbb{R}^{+}$ ;
  \item est croissante sur $\mathbb{R}^{+}$.
 \end{enumerate}
 
 \item Soit $H : x \mapsto \displaystyle{\int_{x}^{2x}} \text{e}^{-t^2} \mathrm{d}t$ définie sur $\mathbb{R}^{+}$.
 \begin{enumerate}
  \item Démontrer que $H(x) = F(2x)-F(x)$.
  \item En déduire que $H$ est dérivable sur $\mathbb{R}^{+}$ puis\linebreak
    démontrer que $H'(x) = \text{e}^{-4x^2}(2-\text{e}^{3x^2})$.
  \item En déduire les variations de $H$ sur $\mathbb{R}^{+}$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

