\begin{exercice}
Soit $(I_n)$ la suite définie pour tout $n \geqslant 0$ par :
\[
I_n = \int_0^1 \ln(1+x^n)\,\mathrm{d}x.
\]
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
  \item Déterminer le sens de variation de la suite $(I_n)$.
  \item Démontrer que pour tout $n \geqslant 0$, $0 \leqslant I_n \leqslant \ln(2)$.
  \item Que peut-on en déduire sur $(I_n)$.
 \end{enumerate}
 
 \item Soit $f : x \mapsto \ln(1+x)-x$, définie sur $\mathbb{R}^{+}$.
 \begin{enumerate}
  \item Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}^{+}$ puis en déduire le signe de $f(x)$.
  \item En déduire que pour tout $n \geqslant 0$ et pour tout $x \geqslant 0$, $\ln(1+x^n) \leqslant x^n$.
  \item En déduire la limite de $(I_n)$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

