\begin{exercice}
Soit $(I_n)$ la suite définie pour tout $n \geqslant 0$ par :
\vspace{-3mm}
\[
I_n = \int_0^1 \dfrac{x^n}{x+1}\,\mathrm{d}x.
\]
\begin{enumerate}
 \item Démontrer que $(I_n)$ est décroissante.
 \item \begin{enumerate}
  \item Pour tout $x \in [0\,;1]$, démontrer que :
	\[
 	\dfrac{x^n}{2} \leqslant \dfrac{x^n}{x+1} \leqslant x^n.
 	\]
 \item Pour tout $n \geqslant 0$, en déduire un encadrement de~$I_n$.
 \end{enumerate}
 \item En déduire le comportement asymptotique de $(I_n)$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

