\begin{exercice}
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout $n \geqslant 1$ par :

{\centering $
	u_n = 1 + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \ldots + \dfrac{1}{n^2}
			= \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2}$.\par}

\vspace{-.5\baselineskip}
\begin{enumerate}
 \item Démontrer que $(u_n)$ est croissante.
 \item \begin{enumerate}
  \item Démontrer que pour tout $k \geqslant 1$ :
	\[
 	\dfrac{1}{(k+1)^2} \leqslant \int_k^{k+1} \dfrac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x \leqslant \dfrac{1}{k^2}.
 	\]
  \item En déduire que :
  	\[ \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{(k+1)^2}
  			\leqslant \int_1^{n+1} \dfrac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x
  			\leqslant u_n.
  	\]
  \item Expliquer les égalités suivantes :
  	\[ \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{(k+1)^2}
  			= \sum_{k=2}^{n+1} \dfrac{1}{k^2}
  			= u_{n+1} - 1.
  	\]
  \item La suite $(u_n)$ est-elle convergente ?
  \end{enumerate}
 \item En déduire le comportement asymptotique de $(u_n)$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


