\begin{exercice} \label{TSA6_E_série_harmonique}
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout $n \geqslant 1$ par :
\[
	u_n = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{n}
			= \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}.
\]
\begin{enumerate}
 \item Démontrer que pour tout $k \geqslant 1$ :
 \[
 \dfrac{1}{k+1} \leqslant \int_k^{k+1} \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x \leqslant \dfrac{1}{k}.
 \]
 \item En déduire que $\displaystyle{\int_1^{n+1}} \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x \leqslant u_n$.
 \item En déduire le comportement asymptotique de $(u_n)$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

