\begin{exercice}%D'après BAC S2001, Centres étrangers
Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x\text{e}^{1-x}$ et $g(x)=x^2\text{e}^{1-x}$. On note $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ leur courbe représentative dans un repère orthogonal $(O\,;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ du plan.\\
On note $\mathscr{D}$ le domaine compris entre $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ d'une part et les droites $x=0$ et $x=1$ d'autre part.\\
De même, pour tout réel $a \geqslant  1$, on note $\mathscr{E}$ le domaine compris entre $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ d'une part et les droites $x=1$ et $x=a$ d'autre part.\\
Le but est de trouver la ou les valeurs de $a$ telle(s) que les aires de $\mathscr{D}$ et $\mathscr{E}$ soient égales.
\begin{center}
\def \a {2.7}
\begin{tikzpicture}[general, xscale=1.2, yscale=1.2]
 \draw [quadrillage] (-1,-1) grid (4,3);
 \draw (-1,0)--(4,0);
 \draw (0,-1)--(0,3);
 \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(1,0);
 \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(0,1);
 \draw[color=black] (0,0) node[below left] {$O$};
 \draw[color=black] (0.5,0) node[below] {$\overrightarrow{i}$};
 \draw[color=black] (0,0.5) node[left] {$\overrightarrow{j}$};
 \draw[domain=-0.28:4, color=B2, smooth] plot(\x,{\x*exp(1-\x)});
 \draw[domain=-0.73:4, color=D1, smooth] plot(\x,{\x*\x*exp(1-\x)});
 \draw(4,0.2) [color=B2] node[right] {{\boldmath $\mathscr{C}_f$}};
 \draw(4,0.8) [color=D1] node[right] {{\boldmath $\mathscr{C}_g$}};
 \fill[color=C1, opacity=0.2] plot[domain=0:1] (\x,{\x*exp(1-\x)})
 						-- plot[domain=1:0] (\x,{\x*\x*exp(1-\x)});
 \draw(0.5,1) [color=C1] node[above] {{\boldmath $\mathscr{D}$}};
 \fill[color=J1, opacity=0.2] plot[domain=1:\a] (\x,{\x*\x*exp(1-\x)})
 						-- (\a,{\a*exp(1-\a)})
 						-- plot[domain=\a:1] (\x,{\x*exp(1-\x)});
 \draw(1.8,1.5) [color=J1] node[above] {{\boldmath $\mathscr{E}$}};
 \draw(\a,0) node[below] {$a$};
 \draw[dashed] (\a,0) -- (\a,{\a*\a*exp(1-\a)});
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
 \item Réaliser la figure à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique puis émettre une conjecture quant au problème posé.
 \item En déduire les positions relatives de $\mathscr{C}_f$ et
   $\mathscr{C}_g$ sur $\mathbb{R}$.
 
 \item Soit $h : x \mapsto P(x)\text{e}^{1-x}$ définie sur $\mathbb{R}$, où $P$ est un polynôme du second degré.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer $h'$. Quelle est sa forme ?
  \item En déduire la forme que peut raisonnablement avoir $H$, une primitive de $h$ sur $\mathbb{R}$.
  \item Déterminer alors une primitive de $h$ lorsque $P$ est le polynôme $P : x \mapsto x^2 - x$.
 \end{enumerate}
 
 \item \begin{enumerate}
  \item Déduire des questions précédentes que les aires des domaines $\mathscr{D}$ et $\mathscr{E}$ sont respectivement égales à $3-\text{e}$ et $3-(a^2+a+1)\text{e}^{1-a}$.
  \item En déduire que répondre au problème posé\linebreak revient à
    résoudre l'équation $\text{e}^a - a^2 - a - 1 = 0$.
 \end{enumerate}
 
 \item Soit $\psi : x \mapsto \text{e}^x - x^2 - x - 1$ définie sur $[1\,; +\infty[$.
 \begin{enumerate}
 \item Étudier les variations de $\psi'$ puis déterminer une valeur
   approchée à $10^{-2}$ près de la solution de l'équation
   $\psi'(x) = 0$ sur $[1\,;+\infty[$.
  \item En déduire le tableau de variation complet de $\psi$.
  \item Répondre au problème posé.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}
