\begin{exercice}[\hfill\tice]
Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x)=\ln(x)$ et $g(x)=\dfrac{1}{x}-1$. On note $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ leur courbe représentative dans un repère orthogonal $(O\,;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ du plan.\\
On note $\mathscr{D}$ le domaine compris entre $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ d'une part et les droites $x=\text{e}^{-1}$ et $x=1$ d'autre part.\\
De même, pour tout réel $a \geqslant 1$, on note $\mathscr{E}$ le domaine compris entre $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ d'une part et les droites $x=1$ et $x=a$ d'autre part.\\
Le but est de trouver la ou les valeurs de $a$ telle(s) que les aires de $\mathscr{D}$ et $\mathscr{E}$ soient égales.
\begin{center}
\def \a {3.2}
\begin{tikzpicture}[general, xscale=1, yscale=1]
 \draw [quadrillage] (0,-2) grid (4,2);
 \draw (0,0)--(4,0);
 \draw (0,-2)--(0,2);
 \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(1,0);
 \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(0,1);
 \draw[color=black] (0,0) node[below left] {$O$};
 \draw[color=black] (0.5,0) node[below] {$\overrightarrow{i}$};
 \draw[color=black] (0,0.5) node[left] {$\overrightarrow{j}$};
 \draw[domain=0.14:4, color=B2, smooth] plot(\x,{ln(\x))});
 \draw[domain=0.34:4, color=D1, smooth] plot(\x,{1/\x-1});
 \draw(4,1.4) [color=B2] node[right] {{\boldmath $\mathscr{C}_f$}};
 \draw(4,-0.75) [color=D1] node[right] {{\boldmath $\mathscr{C}_g$}};
 \fill[color=C1, opacity=0.2] plot[domain={exp(-1)}:1] (\x,{ln(\x)})
 						-- plot[domain=1:{exp(-1)}] (\x,{1/\x-1});
 \draw(0.85,0.75) [color=C1] node {{\boldmath $\mathscr{D}$}};
 \fill[color=J1, opacity=0.2] plot[domain=1:\a] (\x,{ln(\x))})
 						-- (\a,{1/\a-1})
 						-- plot[domain=\a:1] (\x,{1/\x-1});
 \draw(2.5,0.5) [color=J1] node {{\boldmath $\mathscr{E}$}};
 \draw(\a,0) node[below right] {$a$};
 \draw[dashed] (\a,{ln(\a)}) -- (\a,{1/\a-1});
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
 \item Réaliser la figure à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique puis émettre une conjecture quant au problème posé.
 \item \begin{enumerate}
   \item Soit $N : x \mapsto x\ln(x) + x - 1$ définie sur
     $]0\,;+\infty[$.\linebreak Étudier les variations de $N$.
  \item En déduire les positions relatives de $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$.
 \end{enumerate}
 
 \item Démontrer que les aires de $\mathscr{D}$ et $\mathscr{E}$ sont respectivement égales à $1-\text{e}^{-1}$ et $(a-1)\ln(a)$.\\
 Pour une primitive de la fonction $\ln$, on pourra utiliser $x
 \mapsto x \ln(x) - x$.
% se rapporter à l'exercice \RefExercice{TSA6_E_primitive_ln_calcul}

 
 \item Soit $\varphi : x \mapsto (x-1)\ln(x)$. Étudier les variations de $\varphi$ sur $[1\,;+\infty[$ puis répondre au problème posé.
\end{enumerate}

\end{exercice}

