\begin{exercice*}[\ExerciceRefMethode{TSA6_M_calcul_aire}\label{TSA6_E_calcul_aire}]
Soient $f$ et $g$ les deux fonctions définies sur $\mathbb{R}^{+}$ par $f(x) = \dfrac{x^2}{2}$ et $g(x) = \dfrac{8}{x+2}$. On s'intéresse au domaine $\mathscr{D}$ compris entre les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=a$, $a \in \mathbb{R}^{+}$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[general, xscale=0.75, yscale=0.75]
 \draw [quadrillage] (0,0) grid (5,5);
 \draw (0,0)--(5,0);
 \draw (0,0)--(0,5);
 \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(1,0);
 \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(0,1);
 \draw[color=black] (0,0) node[below left] {$O$};
 \draw[color=black] (0.5,0) node[below] {$\overrightarrow{i}$};
 \draw[color=black] (0,0.5) node[left] {$\overrightarrow{j}$};
 \draw[domain=0:3.16, color=B2, smooth] plot(\x,{(\x)^2/2});
 \draw[domain=0:5, color=D1, smooth] plot(\x,{8/(\x+2)});
 \draw(1.5,0.5) [color=B2] node {{\boldmath $\mathscr{C}_f$}};
 \draw(4.5,1.5) [color=D1] node {{\boldmath $\mathscr{C}_g$}};
 \draw(2.8,0) node[below] {$a$};
 \draw[dashed] (2.8,0) -- (2.8,2.8^2/2);
 \fill[color=C1, opacity=0.2] plot[domain=0:2.8] (\x,{8/(\x+2)})
 						-- plot[domain=2.8:0] (\x,{(\x)^2/2}) -- cycle;
 \draw(0.5,1.5) [color=C1] node {{\boldmath $\mathscr{D}$}};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\vspace{-2\baselineskip}
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
  \item Démontrer que 2 est racine du polynôme

    {\centering $N : x \mapsto x^3+2x^2-16.$\par}
  \item En déduire une factorisation de $N(x)$ sous la forme
    $N(x) = (x-2)(ax^2 + bx + c)$, où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels
    à déterminer.
 \item En déduire le signe de $(f-g)(x)$ sur $[0\,;+\infty[$.
 \end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
   \item Déterminer l'aire du domaine $\mathscr{D}$ lorsque
     $a \leqslant 2$.
  \item Déterminer l'aire du domaine $\mathscr{D}$ lorsque
    $a \geqslant 2$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice*}
\begin{corrige}
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
  \item $N(2) = 2^3 + 2 \times 2^2-16 = 0$. Ainsi $N(x) = (x-2)(ax^2+bx+c) = ax^3 + (b-2a)x^2 + (c-2b)x - 2c$. Par identification, on trouve $a = 1$, $c = 8$ et donc $b = 4$. On a donc $N(x)=(x-2)(x^2+4x+8)$.
  \item $f(x) - g(x) = \dfrac{N(x)}{2(x+2)}$. On en déduit le tableau de signes suivant :
  \begin{tikzpicture}[general,yscale=0.48, xscale=0.8]
   \tkzTabInit[lgt=2.5, espcl=1, color, colorC=H4, colorV=H4, colorL=H4, colorT=A4, lw=0.3mm]
   {$x$ / 1, $x-2$ / 1, $x^2+4x+8$ / 1, $2(x+2)$ / 1, $(f-g)(x)$ / 1}
   {0, 2, $+\infty$}
   \tkzTabLine{ , -, z, +, }
   \tkzTabLine{ , +,  , +, }
   \tkzTabLine{ , +,  , +, }
   \tkzTabLine{ , -, 0, +, }
  \end{tikzpicture}\\
  Sur $[0;2]$, $f(x) \leqslant g(x)$ et sur $[2 ; +\infty[$, $g(x) \leqslant f(x)$.
 \end{enumerate}
 
 \item \begin{enumerate}
  \item $\mathscr{A}_{\mathscr{D}} = \displaystyle{\int_0^a} \left( \dfrac{8}{x+2} - \dfrac{x^2}{2} \right) \mathrm{d}x = 8\ln \left( \dfrac{a+2}{2} \right) - \dfrac{a^3}{6}$.
  \item $\mathscr{A}_{\mathscr{D}}
  			= \displaystyle{\int_0^2} \left( \dfrac{8}{x+2} - \dfrac{x^2}{2} \right) \mathrm{d}x
 			+ \displaystyle{\int_2^a} \left( \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{8}{x+2} \right) \mathrm{d}x
 			= 8 \ln(2) - \dfrac{4}{3} + \dfrac{a^3-8}{6} - 8\ln \left( \dfrac{a+2}{4} \right)$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{corrige}

