\begin{exercice*}[\ExerciceRefMethode{TSA6_M_proprietes_primitives}\label{TSA6_E_proprietes_primitives}]
Soient $\varphi$  et $\psi$ les fonctions définies sur $\mathbb{R}^{+}$ par :
\[
\varphi(x) = \int_0^x t^2\text{e}^t\,\mathrm{d}t \quad
			\text{et} \quad
			\psi(x) = (x^2-2x+2)\text{e}^x.
\]
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
  \item Démontrer que $\varphi$ et $\psi$ sont deux primitives sur $\mathbb{R}^{+}$ d'une même fonction $f$ que l'on précisera.
  \item En déduire la relation qu'il existe entre $\varphi$ et $\psi$.
 \end{enumerate}
 
 \item Déterminer la primitive $F$ de $f$ telle que :
 \begin{colenumerate}{2}
  \item $F(0) = 0$
  \item $F(1) = 0$
 \end{colenumerate}
\end{enumerate}
\begin{corrige}
  \begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
   \item $f : t \mapsto t^2\text{e}^t$ est positive et continue sur $\mathbb{R}^{+}$ donc $\varphi$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}^{+}$ et on a $\varphi ' = f$.\\
     De plus, pour tout $x \geqslant 0$, on a
     $\psi'(x) = x^2\text{e}^x$.
  
   \item Pour tout $x \geqslant 0$, $\varphi(x) = \psi(x) + k$,
     $k \in \mathbb{R}$. En particulier, pour $x = 0$, on obtient
     $0 = 2 + k \iff k = -2$ donc $\varphi = \psi - 2$.
 \end{enumerate}
 
\item \begin{enumerate}
  \item Par définition, $\varphi$ convient.
  \item Les primitives de $f$ sur $\mathbb{R}^{+}$ sont de la forme
    $F(x) = \psi(x)+k$, $k \in \mathbb{R}$. $F(1) = 0$ donne
    $k = - \text{e}$ donc $F(x) = (x^2-2x+1)\text{e}^x$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{corrige}
\end{exercice*}

