\begin{exercice} \label{TSA6_E_primitive_ln}
On considère l'intégrale $I = \displaystyle{\int_1^a} \ln(x)\,\mathrm{d}x$, où $a$ est un réel, $a \geqslant 1$, représentant l'aire, en u.a., du domaine colorié ci-dessous :
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}[general, xscale=0.75, yscale=0.75]
   \draw [quadrillage] (0,0) grid (5,5);
   \draw (0,0)--(5,0);
   \draw (0,0)--(0,5);
   \draw[color=black] (0,0) node[below left] {$O$};
   \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(1,0);
   \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(0,1);
   \draw[color=black] (0.5,0) node[below] {$\overrightarrow{i}$};
   \draw[color=black] (0,0.5) node[left] {$\overrightarrow{j}$};
   \draw[domain=1:5, color=B2, smooth] plot(\x,{ln(\x)});
   \draw (2,1.7) [color=B2] node[right]{$y=\ln x$};
   \def \a {3.7}
   \fill[color=C1, opacity=0.2] (1,0) -- plot[domain=1:\a] (\x,{ln(\x)}) --
									(\a,0) -- cycle;
   \draw[color=black] (\a,0) node[below] {$a$};
 \end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
  \item Reproduire le graphique ci-dessus et le compléter avec la courbe de la fonction exponentielle.
  \item Dans un repère orthonormé, rappeler la transformation géométrique permettant de passer de la courbe de la fonction logarithme népérien à la courbe de la fonction exponentielle, et réciproquement.
 \end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
  \item Par des considérations géométriques, démontrer que :
 \[I = a\ln(a) - \int_0^{\ln(a)}\text{e}^x\,\mathrm{d}x.\]
  \item Conclure quant à la valeur de $I$.
 \end{enumerate}
 
 \item Plus généralement, soient $a$ et $b$ deux réels tels que $1 \leqslant a < b$. En tenant un raisonnement géométrique similaire à celui des questions \textcolor{G1}{\textbf{1)}} et \textcolor{G1}{\textbf{2)}} démontrer que :
 \[
 \int_a^b \ln(x) \mathrm{d}x = b\ln(b) - a\ln(a) - b + a.
 \]
\end{enumerate}
\end{exercice}

