\begin{exercice*}
Dans chacun des cas suivants :
\begin{enumerate}
 \item donner un intervalle $I$ sur lequel on peut appliquer le théorème p. \pageref{TSA6_theoreme_derivabilite} ;
 \item déterminer $F'(x)$, pour tout $x \in I$.
 \begin{enumerate}
  \item $F : x \mapsto \displaystyle{\int_{0}^{x}} (1-t)\,\mathrm{d}t$ \vspace{1mm}
  \item $F : x \mapsto \displaystyle{\int_{2}^{x}} (t^2+t-2)\,\mathrm{d}t$ \vspace{1mm}
  \item $F : x \mapsto \displaystyle{\int_{-5}^{x}} (t^2+t-2)\,\mathrm{d}t$ \vspace{1mm}
  \item $F : x \mapsto \displaystyle{\int_{2}^{x}} \left| 1-t \right|\mathrm{d}t$ \vspace{1mm}
  \item $F : x \mapsto \displaystyle{\int_{-2}^{x}} \ln \left| t \right|\mathrm{d}t$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{corrige}
\begin{enumerate}
 \item $t \mapsto 1-t$ est positive sur $]-\infty ; 1]$ donc $I =
   [0\ ;\ 1]$. 
 \item 
   \begin{enumerate}
   \item $F'(x) = 1-x$.
   \item $t \mapsto t^2 + t - 2$ est positive sur
     $]-\infty\ ;\ -2] \cup [1\ ;\ +\infty[$ donc
     $I = [2\ ;\ +\infty[$.  $F'(x) = x^2 + x - 2$.
   \item $I = [-5 \ ;\ -2]$. $F'(x) = x^2 + x - 2$.
   \item $t \mapsto \left| 1-t \right|$ est positive sur $\mathbb{R}$
     donc $I = [2\ ;\ +\infty[$. $F'(x) = \left| 1-x \right|$,
     c'est-à-dire $F'(x) = x-1$.
   \item $t \mapsto \ln \left| t \right| $ est positive sur
     $]-\infty \ ;\ -1] \cup [1\ ;\ +\infty[$ donc $I = [-2\ ;\ -1]$.
     $F'(x) = \ln \left| x \right| = \ln(-x)$.
   \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{corrige}
\end{exercice*}

