\begin{exercice}[Calculs de volumes]
On se place dans un repère $(O\,;\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})$ orthonormé direct de l'espace.
\partie[Un exemple]
Dans le plan $(O\,;\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$, on considère la droite $(d)$ passant par l'origine du repère et le point de coordonnées $(H\,;R)$, où $H$ et $R$ sont deux réels strictement positifs. Soit $\mathscr{D}$ le domaine compris entre $(d)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=H$. On considère le cône de révolution engendré par la rotation de $\mathscr{D}$ autour de l'axe des abscisses.

\begin{center}
\def \H {3}
\def \R {1.5}
\def \r {0.75} %\R/2
\def \d {0.15}
\begin{tikzpicture}[general, xscale=1, yscale=1]
 \draw (0,0)--(4,0);
 \draw (0,0)--(0,2);
 \draw (0,0)--(-1,-1);
 \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(1,0);
 \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(0,1);
 \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(-0.4,-0.4);
 %\draw[color=black] (0,0) node[below left] {$O$};
 \draw[color=black] (0.5,0) node[below] {$\overrightarrow{i}$};
 \draw[color=black] (0,0.5) node[left] {$\overrightarrow{j}$};
 \draw[color=black] (-0.2,-0.2) node[left] {$\overrightarrow{k}$};
 \draw(\H,\R) node[above right] {$(H\,;R)$};
 %cone
 \draw[dashed] (\H,-\R)--(\H,\R);
 \draw[color=A1, smooth] (0,0) to (\H,\R); %droite
 \draw[color=A1](\H/2,\R/2) node[above] {{\boldmath $(d)$}}; %nom de la droite
 \draw[color=A1, smooth] (0,0) to (\H,-\R); %droite opposée
 \draw[color=A1] (\H,-\R) arc (-90:90:0.3cm and \R cm);
 \draw[color=A1] (\H,\R) arc (90:270:0.3cm and \R cm);
 \fill[color=A1, opacity=0.2] (0,0)--(\H,-\R) arc (-90:90:0.3cm and \R cm)--cycle;
 %petit cylindre
 \draw[color=J1, dashed] (\H/2,-\r) arc (-90:90:0.2cm and \r cm);
 \draw[color=J1] (\H/2,\r) arc (90:270:0.2cm and 0.75 cm);
 \draw[color=J1, dashed] (\H/2+\d,-\r) arc (-90:90:0.2cm and \r cm);
 \draw[color=J1] (\H/2+\d,\r) arc (90:270:0.2cm and \r cm);
 \draw[color=J1] (\H/2,\r)--(\H/2+\d,\r);
 \draw[color=J1] (\H/2,-\r)--(\H/2+\d,-\r);
 \fill[color=J1, opacity=0.3] (\H/2,\r) arc (90:270:0.2cm and \r cm)
 							-- (\H/2+\d,-\r)
 							-- (\H/2+\d,-\r) arc (-90:90:0.2cm and \r cm)
 							-- cycle;
\end{tikzpicture}
\end{center}
Pour calculer le volume engendré, on découpe l'intervalle $[0\,;H]$ en
$n \in \mathbb{N}^{*}$ intervalles de même amplitude, que l'on note
$I_k$ pour $k=0, \ldots, n-1$, et sur chaque intervalle, on construit le
cylindre intérieur au cône.
\begin{enumerate}
 \item Quelle est l'amplitude des intervalles $I_k$ ?
 \item On note $I_k = [x_k\,; x_{k+1}]$. Pour tout $k=0, \ldots, n$,
   exprimer $x_k$ en fonction de $H$, $k$ et $n$.
 \item Pour tout $k = 0, \ldots, n-1$, démontrer que le volume du cylindre construit sur l'intervalle $I_k$ est :
 \[
 \mathscr{V}_k = \dfrac{1}{n^3} \pi R^2 H k^2.
 \]
 \item Démontrer que :
 \[
 \sum_{k=0}^{n-1} \mathscr{V}_k = \dfrac{\pi R^2 H}{6} \times \dfrac{(n-1)(2n-1)}{n^2}.
 \]
 \item En déduire le volume du cône.
\end{enumerate}


\partie[Généralisation]
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I = [a\,;b]$ et $\mathscr{D}$ le domaine compris entre $\mathscr{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$. On considère le corps de révolution engendré par la rotation de $\mathscr{D}$\linebreak autour de l'axe des abscisses.

\begin{center}
\def \a {1}
\def \r {0.5}
\def \b {4}
\def \R {2}
\def \d {0.15}
\def \xk {2.8}
\def \rk {1.12}
\begin{tikzpicture}[general, xscale=1, yscale=1]
 \draw (0,0)--(4.5,0);
 \draw (0,0)--(0,2);
 \draw (0,0)--(-1,-1);
 \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(1,0);
 \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(0,1);
 \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(-0.4,-0.4);
 \draw[color=black] (0.5,0) node[below] {$\overrightarrow{i}$};
 \draw[color=black] (0,0.5) node[left] {$\overrightarrow{j}$};
 \draw[color=black] (-0.2,-0.2) node[left] {$\overrightarrow{k}$};
 %intervalle
 \draw[dashed] (\a,0)--(\a,\r); \draw (\a,0) node[below] {$a$};
 \draw[dashed] (\b,0)--(\b,\R); \draw (\b,0) node[below] {$b$};
 %corps de révolution
 \draw[domain=1:4, color=A1, smooth] plot(\x,{-5/27*(\x)^3+25/18*(\x)^2-20/9*\x+14/27});
 \draw[domain=1:4, color=A1, smooth] plot(\x,{5/27*(\x)^3-25/18*(\x)^2+20/9*\x-14/27});
 \draw[color=A1] (\b,-\R) arc (-90:90:0.3cm and \R cm);
 \draw[color=A1] (\b,\R) arc (90:270:0.3cm and \R cm);
 \draw[color=A1, dashed] (\a,-\r) arc (-90:90:0.1cm and \r cm);
 \draw[color=A1] (\a,\r) arc (90:270:0.1cm and \r cm);
 \fill[color=A1, opacity=0.2] (\a,\r) arc (90:270:0.1cm and \r cm)
 					-- plot[domain=\a:\b] (\x,{-5/27*(\x)^3+25/18*(\x)^2-20/9*\x+14/27})
 					-- (\b,\R) arc (90:-90:0.3cm and \R cm)
 					-- plot[domain=\b:\a] (\x,{5/27*(\x)^3-25/18*(\x)^2+20/9*\x-14/27});
 %petit cylindre
 \draw[color=J1, dashed] (\xk,-\rk) arc (-90:90:0.2cm and \rk cm);
 \draw[color=J1] (\xk,\rk) arc (90:270:0.2cm and \rk cm);
 \draw[color=J1, dashed] (\xk+\d,-\rk) arc (-90:90:0.2cm and \rk cm);
 \draw[color=J1] (\xk+\d,\rk) arc (90:270:0.2cm and \rk cm);
 \draw[color=J1] (\xk,\rk)--(\xk+\d,\rk);
 \draw[color=J1] (\xk,-\rk)--(\xk+\d,-\rk);
 \draw[dashed] (\xk,0)--(\xk,\rk); \draw (\xk,0) node[below] {$x_k$};
 \fill[color=J1, opacity=0.3] (\xk,\rk) arc (90:270:0.2cm and \rk cm)
 							-- (\xk+\d,-\rk)
 							-- (\xk+\d,-\rk) arc (-90:90:0.2cm and \rk cm)
 							-- cycle;
\end{tikzpicture}
\end{center}

Alors, le volume du corps considéré est :
 \[
 \mathscr{V} = \lim_{n \to +\infty} \pi \sum_{k=0}^{n-1} f(x_k)^2\,\Delta x.
 \]
Préciser les valeurs de $x_k$ et $\Delta x$ en fonction de $a$, $b$ et $n$.\\
En terme d'intégrale, on a alors : $\mathscr{V} = \pi \displaystyle{\int_a^b}f(x)^2\, \mathrm{d}x$.

\partie[Application]
Dans chacun des cas suivants :
\begin{enumerate}
\item représenter l'objet obtenu par la révolution du\linebreak
  domaine $\mathscr{D}$ défini comme dans la partie \textbf{B} ;
 \item nommer cet objet (on pourra effectuer des recherches sur le Web) ;
 \item calculer son volume.
 \begin{enumerate}
  \item $f : x \mapsto x+1$, où $I = [1\,;5]$.
  \item $f : x \mapsto \dfrac{1}{x}$, où $I = [a\,;b]$ avec $0 < a < b$.
  \item $f : x \mapsto \sqrt{x}$, où $I = [0\,;h]$ avec $h>0$.
  \item $f : x \mapsto \sqrt{R^2-x^2}$, où $I = [0\,;R]$ avec $R>0$.
  \item $f : x \mapsto \dfrac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$, où $I = [-a\,;a]$ avec $a>0$ et $b>0$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

