\begin{exercice}[Fonction gamma]
Pour tout réel $x>0$, on définit la fonction $\Gamma$ par :
\[
\begin{array}{ccc}
    \Gamma(x) & = &
    	\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}} \text{e}^{(x-1)\ln t} \text{e}^{-t} \,\mathrm{d}t\\
			  & \underset{\text{def.}}{=} &
		\displaystyle{\lim_{\footnotesize{\begin{array}{c} b \to +\infty\\ a \to 0 \end{array}}}\int_{a}^{b}} \text{e}^{(x-1)\ln t} \text{e}^{-t} \,\mathrm{d}t.
\end{array}		 
\]

\begin{enumerate}
 \item Un résultat général d'intégration.\\
 Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle $[a\,;b]$.
 \begin{enumerate}
  \item Rappeler la formule de la dérivée du produit $uv$.
  \item On peut alors en déduire que :
  \[
  \int_{a}^{b} u(x)v'(x)\,\mathrm{d}x = \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots
  \]
  Cette formule est appelée formule d'Intégration Par Partie (IPP).
 \end{enumerate}
 \item Établissement d'une formule de récurrence.\\
 En procédant à une IPP, tout en choisissant judicieusement les fonctions $u$ et $v'$, démontrer que :
 \[\Gamma(x+1) = x \Gamma(x).\]
 \item \begin{enumerate}
  \item Calculer $\Gamma(1)$.
  \item Calculer ensuite $\Gamma(2)$, $\Gamma(3)$, $\Gamma(4)$ et plus si nécessaire afin de pouvoir établir une conjecture.
  \item La démontrer.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

