\begin{exercice}[Démonstration]
On rappelle le théorème p. \pageref{TSA6_theoreme_derivabilite}, affirmant que si $f$ est une fonction continue et positive sur un intervalle $[a;b]$ alors la \og fonction aire \fg{} $F$ est dérivable sur $[a\,;b]$ et on a $F'=f$.\\
On souhaite démontrer ce résultat pour une fonction $f$ de signe quelconque.
\begin{enumerate}
 \item Soit $f$ une fonction négative sur $[a\,;b]$.\\
 Appliquer ce théorème à la fonction $g : x \mapsto - f(x)$ et en déduire que l'on obtient bien $F'=f$ sur $[a\,;b]$.
 \item Soit $f$ une fonction changeant de signe sur $[a\,;b]$. On supposera ici que $f$ est négative que $[a\,;\alpha]$ et positive sur $[\alpha\,;b]$.
 \begin{enumerate}
  \item Démontrer que sur $[a\,;\alpha]$, $F'=f$.
  \item Posons $F_1 : x \mapsto \displaystyle{\int_{\alpha}^x}f(t)\,\mathrm{d}t$ définie sur $[\alpha\,;b]$. Exprimer $F$ en fonction de $F_1$ puis démontrer que sur $[\alpha\,;b]$, $F'=f$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
On généralise en procédant de même, intervalle par intervalle, pour une fonction admettant un nombre fini de changements de signes sur $[a\,;b]$.
\end{exercice}

