\begin{exercice}[Inégalité de Cauchy-Schwarz]
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a;b]$. On note $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[
h(t) = \int_a^b (f(x) + tg(x))^2\,\mathrm{d}x.
\]

\begin{enumerate}
\item À quelle condition sur $g$ la fonction $h$ est-elle un\linebreak
  polynôme du second degré ?
 \item Quel est le signe de $h$ ?
 \item En déduire l'inégalité :
 \[
 \left( \int_a^b f(x)g(x)\,\mathrm{d}x \right)^2 \leqslant
 		\left( \int_a^b f(x)^2\,\mathrm{d}x \right)
 		\left( \int_a^b g(x)^2\,\mathrm{d}x \right).
 \]
\end{enumerate}
\end{exercice}

