\begin{exercice}
  Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs, avec $a>b$.  Dans
  un repère orthogonal, on considère $(d_a)$, $(d_b)$, $\mathscr{H}_1$
  et $\mathscr{H}_2$ les courbes d'équations respectives\linebreak
  $y=ax$, $y=bx$, $y=\dfrac{1}{x}$ et $y=\dfrac{2}{x}$, pour $x>0$.
\begin{center}
\def \a {1.44}
\def \b {0.44}
\begin{tikzpicture}[general, xscale=1, yscale=1]
 %\draw [quadrillage] (0,0) grid (3,3);
 \draw (0,0)--(3,0);
 \draw (0,0)--(0,3);
 \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(1,0);
 \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(0,1);
 \draw[color=black] (0,0) node[below left] {$O$};
 \draw[color=black] (0.5,0) node[below] {$\overrightarrow{i}$};
 \draw[color=black] (0,0.5) node[left] {$\overrightarrow{j}$};
 \draw[domain=0:25/12, color=A1, smooth] plot(\x,{\a*\x});
 \draw[domain=0:3, color=A1, smooth] plot(\x,{\b*\x});
 \draw[domain=1/3:3, color=D1, smooth] plot(\x,{1/\x});
 \draw[domain=2/3:3, color=D1, smooth] plot(\x,{2/\x});
 \draw(2.2,2.5) [color=A1] node {{\boldmath $(d_a)$}};
 \draw(2.5,1.5) [color=A1] node {{\boldmath $(d_b)$}};
 \draw(3,1/3) [color=D1] node[right] {{\boldmath $\mathscr{H}_1$}};
 \draw(3,2/3) [color=D1] node[right] {{\boldmath $\mathscr{H}_2$}};
 \fill[color=C1, opacity=0.2] ({1/sqrt(\a)},{sqrt(\a)})
 							-- ({sqrt(2)/sqrt(\a)},{sqrt(2*\a)})
 							-- plot[domain={sqrt(2)/sqrt(\a)}:{sqrt(2)/sqrt(\b)}] (\x,{2/\x})
 							-- ({1/sqrt(\b)},{sqrt(\b)})
 							-- plot[domain={1/sqrt(\b)}:{1/sqrt(\a)}] (\x,{1/\x});
 \draw(1.3,1.1) [color=C1] node {{\boldmath $\mathscr{D}$}};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
 \item Déterminer les coordonnées des points d'intersection entre les droites $d_a$, $d_b$ et les hyperboles $\mathscr{H}_1$, $\mathscr{H}_2$.
 \item Déterminer l'aire du domaine $\mathscr{D}$ en fonction des réels $a$ et $b$.
\end{enumerate}
\end{exercice}
