\begin{exercice}
  Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ de la forme
  $f(x) = P(x)\text{e}^x$, où $P$ est un polynôme du second\linebreak
  degré.
\begin{enumerate}
 \item Quelle est la forme de $f'$ ?
 
 \item Soit $F$, une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.
 \begin{enumerate}
  \item Quelle forme convient à $F$ ?
  \item Suffit-il ou est-il nécessaire que $F$ soit de la forme donnée en \textcolor{G1}{\textbf{2)a)}} pour qu'elle soit une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ ?
 \end{enumerate}
 
 \item On note :
 \[F : x \mapsto (Ax^2+Bx+C)\text{e}^x\]
 et
 \[
 f : x \mapsto (ax^2+bx+c)\text{e}^x,
 \]
 où $A$, $B$, $C$, $a$, $b$ et $c$ sont des réels avec $A \neq 0$ et $a \neq 0$.
 \begin{enumerate}
  \item Démontrer que $F' = f$ si et seulement si
  \[	\left\lbrace
		\begin{array}{l}
			A = a \\
			2A+B=b \\
			B+C = c
		\end{array}
		\right.
  \]
  \item En déduire les expressions de $A$, $B$ et $C$ en fonction de $a$, $b$ et $c$.
 \end{enumerate}
 
 \item En déduire les primitives sur $\mathbb{R}$ de :
 \begin{enumerate}
  \item $f : x \mapsto (x^2+x+1)\text{e}^x$
  \item $f : x \mapsto (x^2+2x-1)\text{e}^x$
  \item $f : x \mapsto (3x^2+2x+1)\text{e}^x$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

