\begin{activite}[Loi horaire]
Dans un repère terrestre, et en négligeant les forces de frottement dues à l'air, un corps $M$ de masse $m$ (en kg) est soumis à une force unique : son poids $\overrightarrow{P} = m \overrightarrow{g}$ (en N, ou kg$\cdot$m$\cdot$s\up{$-2$}), où $g = \Vert \overrightarrow{g} \Vert$ est l'accélération de la pesanteur, en m$\cdot$s\up{$-2$}.\\
Dans un repère $(O\,; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})$, on note $\overrightarrow{OM(t)}$, $\overrightarrow{v(t)}$ et $\overrightarrow{a(t)}$ les vecteurs position, vitesse et accélération du point $M$ en fonction du temps $t$ (en s).

\begin{partie}[Rappels généraux de physique]

\vspace{-\baselineskip}
  \begin{enumerate}
  \item Pour $i=1, \ldots, n$, $\vv{F}_i$ désignant les forces
    extérieurs exercées sur le corps $M$, et en reprenant les
    notations précédentes, on rappelle la seconde loi de Newton :
    \[
    \sum_{i=1}^{n} \vv{F}_i = m \vv{a(t)}.
    \]
    \begin{enumerate}
    \item Exprimer $\overrightarrow{g}$ en fonction de
      $\overrightarrow{k}$.
    \item Pour tout $t \geqslant 0$, en déduire les coordonnées de
      $\overrightarrow{a(t)}$.
    \end{enumerate}
 
  \item Rappeler le lien qu'il existe entre les fonctions
    $\overrightarrow{OM}$, $\overrightarrow{v}$ et
    $\overrightarrow{a}$.
  \end{enumerate}
\end{partie}


\begin{partie}[Équation horaire d'un mouvement vertical]
À l'instant $t=0$ s, on lance verticalement et vers le haut un objet $M$ depuis une hauteur de 1,5 m et à une vitesse de 3 m$\cdot$s\up{$-1$}.
\begin{enumerate}
 
 \item \begin{enumerate}
  \item Donner les coordonnées de $\overrightarrow{OM(0)}$ et de $\overrightarrow{v(0)}$.
  \item Pour tout $t \geqslant 0$, en déduire les coordonnées de $\overrightarrow{v(t)}$.
  \item Pour tout $t \geqslant 0$, en déduire les coordonnées de $\overrightarrow{OM(t)}$.
 \end{enumerate}
 
 \item En prenant $g = 10$ m$\cdot$s\up{$-2$}, à quel moment l'objet retombera-t-il au sol ?
\end{enumerate}
\end{partie}


\begin{partie}[Équation d'une trajectoire]
À l'instant $t = 0$ s, on tire un boulet de canon $M$ depuis l'origine du repère dans le plan vertical $(O\,; \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})$ avec une vitesse initiale $v_0$. L'angle de tir est donné par $\alpha = (\overrightarrow{j};\overrightarrow{v_0})$.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer les coordonnées de $\overrightarrow{OM(0)}$ ainsi que de $\overrightarrow{v(0)}$.
 \item En déduire les coordonnées de $\overrightarrow{v(t)}$ puis que :
 \[
 \overrightarrow{OM(t)} \left(\begin{array}{c}	0\\
											v_0 \cos (\alpha) t\\
											-\frac{1}{2}gt^2 + v_0 \sin (\alpha) t \end{array}\right).
 \]
 \item En notant $y$ et $z$ les deuxième et troisième coordonnées de $\overrightarrow{OM(t)}$, démontrer que :
 \[
 z = -\dfrac{g}{2v_0^2 \cos^2 (\alpha)}y^2 + \tan (\alpha) y.
 \]
\end{enumerate}
\end{partie}
\vspace{-2em}
\end{activite}

