\begin{activite}[Vers le résultat exact]
On reprend les notations de l'algorithme de l'activité 1.
\begin{enumerate}
 \item Démontrer que :
 \[	S_{inf} = \dfrac{1}{n^3} \sum_{k=0}^{n-1} k^2 = \dfrac{1}{n^3} \sum_{k=1}^{n-1} k^2
 	\quad
 	\text{et}
 	\quad
 	S_{sup} = \dfrac{1}{n^3} \sum_{k=0}^{n-1} (k+1)^2 = \dfrac{1}{n^3} \sum_{k=1}^{n} k^2.
 \]
 
\item On rappelle que
  $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}}k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. (Voir
  exercice~\RefExercice{A1-ex21% TSA6_E_calcul_primitives_simples
  }, chapitre A1,
  page~\pageref{A1-ex21% TSA6_E_calcul_primitives_simples
  }.)

   \vspace{-3mm}

 \begin{enumerate}
  \item Démontrer l'égalité suivante puis en déduire la limite de $S_{inf}$ lorsque $n$ tend vers l'infini :
  \begin{center}
  $S_{inf} = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2n} + \dfrac{1}{6n^2}.$
  \vspace{0.5em}
  \end{center}
  
  \item Démontrer l'égalité suivante puis en déduire la limite de $S_{sup}$ lorsque $n$ tend vers l'infini :
  \begin{center}
  $S_{sup} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2n} + \dfrac{1}{6n^2}.$
  \vspace{0.5em}
  \end{center}
  
  \item En déduire la valeur exacte de l'aire du domaine $\mathscr{D}$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{-5em}
\end{activite}

